证明方阵最小多项式的唯一性

假设 $A$ 的两个不同的方阵最小多项式为 $p(x)$ 和 $q(x)$，且 $\deg(p(x)) \leq \deg(q(x))$。根据定义，$p(A) = q(A) = 0$。

考虑将 $p(x)$ 和 $q(x)$ 分解为不可约因式的乘积，即 $p(x) = p_1(x) \cdot p_2(x) \cdot \ldots \cdot p_k(x)$ 和 $q(x) = q_1(x) \cdot q_2(x) \cdot \ldots \cdot q_m(x)$，其中 $p_i(x)$ 和 $q_j(x)$ 是不可约多项式。由于 $p(A) = 0$，因此 $p_i(A) = 0$ 对于所有 $i$ 成立。同理，$q_j(A) = 0$ 对于所有 $j$ 也成立。

由于 $p(x)$ 是 $A$ 的最小多项式，因此 $p_i(x)$ 是 $A$ 的特征多项式的因式。根据代数基本定理，$p_i(x)$ 也是 $A$ 的最小多项式。因此，我们有 $q(A) = q_1(A) \cdot q_2(A) \cdot \ldots \cdot q_m(A) = 0$，其中 $q_j(A)$ 是 $A$ 的特征多项式的因式。根据代数基本定理，$q_j(x)$ 也是 $A$ 的最小多项式。

因此，$q(x)$ 的每个不可约因式都是 $p(x)$ 的因式，即 $p(x)$ 是 $q(x)$ 的因式。由于 $\deg(p(x)) \leq \deg(q(x))$，因此 $q(x)$ 也是 $p(x)$ 的因式。因此，$p(x)$ 和 $q(x)$ 只相差一个常数因子，即存在一个非零常数 $c$，使得 $p(x) = cq(x)$。

由于 $p(A) = q(A) = 0$，因此 $c \neq 0$。因此，$q(x)$ 也是 $A$ 的最小多项式。因此，方阵的最小多项式是唯一的。