用拉格朗日乘数法证明young不等式

Young不等式表述为：对于任意的$a,b\geq 0$和$p,q>1$，有$$ab\leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$

我们考虑将其转化为极值问题。设$f(x)=\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}-xy$，则我们要证明的是当$a,b$固定时，$f(a,b)$取得最小值$0$。注意到函数$f(x)$是二元函数，我们需要使用拉格朗日乘数法来求解。

设$g(x,y)=x+y-c$，其中$c$是一个常数，考虑求解以下方程组的解：$$\begin{cases}\nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y)\g(x,y)=0\end{cases}$$

其中$\nabla f(x,y)=(px^{p-1}-y,\ qy^{q-1}-x)$是$f(x,y)$的梯度，$\nabla g(x,y)=(1,1)$是$g(x,y)$的梯度，$\lambda$是拉格朗日乘数。

将$\nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y)$代入上式，得到以下方程组的解：$$\begin{cases}px^{p-1}-y=\lambda\qy^{q-1}-x=\lambda\x+y=c\end{cases}$$

解得$x=\left(\frac{p}{p+q}\right)^{p/(p+q)}a,\ y=\left(\frac{q}{p+q}\right)^{q/(p+q)}b$，代入$f(x,y)$得到$$f(a,b)=\frac{1}{p}\left(\frac{p}{p+q}\right)^{p/(p+q)}a^p+\frac{1}{q}\left(\frac{q}{p+q}\right)^{q/(p+q)}b^q-ab$$

我们需要证明$f(a,b)\geq 0$，即$$\frac{1}{p}\left(\frac{p}{p+q}\right)^{p/(p+q)}a^p+\frac{1}{q}\left(\frac{q}{p+q}\right)^{q/(p+q)}b^q\geq ab$$

注意到左边的两项可以看成是$a^p$和$b^q$的加权平均，因此我们可以尝试使用加权平均不等式（也称为琴声不等式）。

设$x=a^{\frac{p}{p+q}},\ y=b^{\frac{q}{p+q}}$，则$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，因此有$$\left(\frac{p}{p+q}\right)^{p/(p+q)}a^p+\left(\frac{q}{p+q}\right)^{q/(p+q)}b^q=x^{\frac{p+q}{p}}+y^{\frac{p+q}{q}}$$

根据加权平均不等式，有$$x^{\frac{p+q}{p}}+y^{\frac{p+q}{q}}\geq \left(\frac{p+q}{p}\right)^{\frac{p}{p+q}}x+\left(\frac{p+q}{q}\right)^{\frac{q}{p+q}}y$$

代入$x=a^{\frac{p}{p+q}},\ y=b^{\frac{q}{p+q}}$，得到$$\left(\frac{p}{p+q}\right)^{p/(p+q)}a^p+\left(\frac{q}{p+q}\right)^{q/(p+q)}b^q\geq a^{\frac{p}{p+q}}b^{\frac{q}{p+q}}\left(\frac{p+q}{p}\right)^{\frac{p}{p+q}}+\left(\frac{p+q}{q}\right)^{\frac{q}{p+q}}$$

因为$\frac{p}{p+q}+\frac{q}{p+q}=1$，所以$\left(\frac{p+q}{p}\right)^{\frac{p}{p+q}}\left(\frac{p+q}{q}\right)^{\frac{q}{p+q}}=1$，代入上式得到$$\left(\frac{p}{p+q}\right)^{p/(p+q)}a^p+\left(\frac{q}{p+q}\right)^{q/(p+q)}b^q\geq a^{\frac{p}{p+q}}b^{\frac{q}{p+q}}+\frac{1}{p+q}a^p+\frac{1}{p+q}b^q$$

因为$a,b\geq 0$，所以$\frac{1}{p+q}a^p+\frac{1}{p+q}b^q\geq ab$，代入上式得到$$\left(\frac{p}{p+q}\right)^{p/(p+q)}a^p+\left(\frac{q}{p+q}\right)^{q/(p+q)}b^q\geq 2ab$$

因此$f(a,b)\geq 0$，当且仅当$a,b\geq 0$时等号成立。证毕。