1在 △ABC 中已知 →AD=2→DC AC=3BC si n∠BDC=3sin∠BAC 当 →CA·→CB-→AB--取得最小值时 △ABC 的面积为

首先，根据已知条件可得：

$$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{1}$$

$$\frac{AD}{DC}=\frac{2}{1}$$

因此，可以考虑以$BC$为基准线，建立平面直角坐标系，令$B$点坐标为$(0,0)$，$C$点坐标为$(1,0)$，$A$点坐标为$(x,y)$。

由于$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{1}$，因此$A$点坐标满足$y=3x$。

又因为$\frac{AD}{DC}=\frac{2}{1}$，因此$D$点坐标为$(\frac{2}{3},0)$。

由于$\sin\angle BDC=3\sin\angle BAC$，因此有：

$$\frac{BD}{DC}=\frac{\sin\angle BDC}{\sin\angle BAC}=3$$

根据正弦定理可得：

$$\frac{BD}{\sin\angle BAC}=\frac{BC}{\sin\angle BDC}$$

代入$\frac{BD}{DC}=3$，得到：

$$\frac{\sin\angle BAC}{\sin\angle BDC}=\frac{1}{3}$$

又因为$\angle BDC$为锐角，所以$\sin\angle BAC>\sin\angle BDC$，因此有：

$$\sin\angle BAC=\frac{1}{2}$$

代入$y=3x$可得$AC=\sqrt{10}BC$，因此有：

$$x^2+y^2=10$$

又因为$D$点坐标为$(\frac{2}{3},0)$，因此$\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}1-\frac{2}{3}\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\0\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}\frac{4}{3}\0\end{pmatrix}$，因此有：

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}\frac{7}{3}\\frac{9}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{7}{3}\3\end{pmatrix}$$

因此，

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{\left(\frac{7}{3}\right)^2+3^2}=\frac{\sqrt{58}}{3}$$

$$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=\begin{pmatrix}x-1\y\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=x^2-xy=\frac{10}{3}-|\overrightarrow{AB}|$$

因此，

$$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}-|\overrightarrow{AB}|=-xy=\frac{5}{2}$$

根据海龙公式可得：

$$S_{\triangle ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{\frac{5\sqrt{58}}{18}}$$

其中，$s$为半周长，$a=BC$，$b=AC$，$c=AB$。

因此，$\sqrt{58}$的最小值为$\sqrt{\frac{5}{2}}$，$\sqrt{\frac{5\sqrt{58}}{18}}$的最小值为$\frac{\sqrt{145}}{6}$。

因此，当$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}-|\overrightarrow{AB}|$取得最小值$\frac{5}{2}$时，$\triangle ABC$的面积为$\frac{\sqrt{145}}{6}$。