二次型标准化：x=qy 变量替换方法

要将二次型通过变量替换化为标准型，可以按照以下步骤进行。

1. 将二次型的矩阵形式表示出来。假设二次型为 Q(x)，则可以表示为 Q(x) = x^TAX，其中 A 是二次型的矩阵形式。

2. 使用变量替换 x = qy，其中 q 是一个非奇异矩阵，y 是新的变量。

3. 将 x 带入二次型的表达式中，得到 Q(qy) = (qy)^TA(qy)。

4. 展开上述表达式，得到 Q(qy) = y^T(q^TAq)y。

5. 令 B = q^TAq，即可得到新的二次型 Q(y) = y^TBy。

6. 将 B 对角化，得到 B = PDP^T，其中 P 是正交矩阵，D 是对角矩阵。

7. 将上述表达式带入新的二次型中，得到 Q(y) = y^TPDP^Ty。

8. 定义新的变量 z = P^Ty，得到 Q(z) = z^TDz。

9. 由于 D 是对角矩阵，所以 Q(z) 达到了标准型。

综上所述，通过变量替换 x=qy，可以将二次型化为标准型。