2021·甲卷已知直三棱柱ABC-A1B1C1中侧面AA1B1B为正方形AB=BC=2EF分别为AC和CC1的中点D为棱A1B1上的点BF⊥A1B11证明：BF⊥DE2当B1D为何值时面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？出现特殊符号的用文字代替。

(1) 设 $BF$ 与 $DE$ 的交点为 $G$，连接 $AG$、$BG$，则 $AG$ 与 $BF$ 均垂直于 $A_1 B_1$，故 $AG \parallel BF$，又 $AG \parallel DE$，因此 $BF \parallel DE$，即 $BF \perp DE$。 (2) 设 $BB_1=CC_1=x$，则 $AA_1=x\sqrt{2}$，$BF=\sqrt{x^2-1}$，$DE=\sqrt{2^2+x^2-2x\sqrt{2}}$，$EF=\sqrt{x^2-1}$，$DF=x\sqrt{2}-1$。由余弦定理可得： $$\cos \angle BFE = \frac{BF^2+EF^2-BE^2}{2BF\cdot EF}=\frac{x^2-2}{2(x^2-1)}$$ $$\cos \angle DFE = \frac{DF^2+EF^2-DE^2}{2DF\cdot EF}=\frac{3x^2-2x\sqrt{2}-7}{2(2x\sqrt{2}-2)}$$ 由于 $\angle BFE$ 为锐角，所以 $\sin \angle BFE = \sqrt{1-\cos^2 \angle BFE}$，同理可得 $\sin \angle DFE = \sqrt{1-\cos^2 \angle DFE}$。因此，面 $BB_1C_1C$ 与面 $DFE$ 所成的二面角的正弦值为： $$\sin \theta = \sin(\angle BFE + \angle DFE) = \sin \angle BFE \cos \angle DFE + \cos \angle BFE \sin \angle DFE$$ 将上面的式子代入，化简可得： $$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}x^3-2x\sqrt{2}}{2(x^2-1)\sqrt{3x^4-4x^3\sqrt{2}+14x^2-8x\sqrt{2}-6}}$$ 注意到 $x>1$，所以 $3x^4-4x^3\sqrt{2}+14x^2-8x\sqrt{2}-6>0$，因此 $\sin \theta$ 与 $\frac{\sqrt{2}x^3-2x\sqrt{2}}{x^2-1}$ 同号。对于分式 $\frac{\sqrt{2}x^3-2x\sqrt{2}}{x^2-1}$，可以求导得到极值点 $x=2$。因此，当 $B_1D=2$ 时，$\sin \theta$ 达到最小值 $\frac{\sqrt{2}}{3}$。