705乘多少加上35能得到整数的255

首先，我们可以将题目转化为求一个未知数 $x$，使得 $705x+35$ 等于 $255$ 的倍数。即：

$$705x+35=k\cdot255$$

其中 $k$ 为整数。接下来，我们将式子简化：

$$141x+7=51k$$

左右两边同时除以 $3$：

$$47x+2=17k$$

因为 $k$ 为整数，所以 $17k$ 一定为奇数，所以 $47x$ 必须是奇数。考虑 $47$ 是一个质数，因此 $x$ 只能是 $1$ 或 $24$。代入式子检验：

当 $x=1$ 时，$47x+2=49$ 不是 $17$ 的倍数，不符合要求。

当 $x=24$ 时，$47x+2=1130=10\cdot 113$ 是 $255$ 的倍数，符合要求。

因此，答案为 $x=24$。