证明一下拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理指出，若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 上可导，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$$

证明：

考虑函数 $g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，则 $g(a)=f(a)$，$g(b)=f(b)$，且$$g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

因此，$g'(a)=f'(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，$g'(b)=f'(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

由于 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 上可导，因此 $g(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 上可导。

根据罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $g'(\xi)=0$。即$$f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$

移项即得$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$$

证毕。