标量关于向量求导举例

假设有一个标量函数 $f(\mathbf{x})=2x_1^2+3x_2$，其中 $\mathbf{x}=[x_1,x_2]^T$ 是一个二维列向量。我们可以对其进行向量求导，得到一个梯度向量：

$$\nabla f(\mathbf{x})=\begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1} \ \frac{\partial f}{\partial x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4x_1 \ 3\end{bmatrix}$$

这个梯度向量可以告诉我们在 $\mathbf{x}$ 处函数增长最快的方向，即 $\mathbf{x}$ 所在点的切线方向。