求1cosx+sinxdx的积分用和差公式替换再做

首先，我们可以利用和差公式将分母中的 $\cos x + \sin x$ 转化为 $\sqrt{2} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$，即：

$$ \frac{1}{\cos x + \sin x} = \frac{1}{\sqrt{2} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} $$

然后，令 $u = x - \frac{\pi}{4}$，则有 $du = dx$，于是原式可以变为：

$$ \int \frac{1}{\cos x + \sin x} dx = \int \frac{1}{\sqrt{2} \cos u} du $$

现在我们可以使用常数因子的积分公式来求解：

$$ \int \frac{1}{\sqrt{2} \cos u} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \sec u du = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln|\sec u + \tan u| + C $$

回代 $u = x - \frac{\pi}{4}$，即可得到最终的结果：

$$ \int \frac{1}{\cos x + \sin x} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\sec\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \tan\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right| + C $$