直角三角形证明题：EF=FD-AE 和 EM垂直于FM

本文探讨了直角三角形BAD中的一些几何性质，其中角A为直角，BD为斜边，AE垂直于BD，E在BD上，P点在AD上，满足AP=AB，PF垂直AE，F在AE上。我们将证明以下两个结论：

1. EF=FD-AE

首先，考虑三角形ADF和三角形EBF。由于AP=AB，角DAF=角EBF=90度（由设定可知），以及角ADF=角EBF（因为它们是互补角），根据AA相似准则，我们可以得出三角形ADF相似于三角形EBF。

因此，我们可以建立以下比例关系：

AD / AF = EB / EF

根据题设，我们知道AE垂直于BD，因此角DAF=角EBF=90度。所以，ADF和EBF都是直角三角形。

由于角DAF=90度，我们可以得出AD=AF（根据勾股定理）。

将这个新的信息代入比例关系中，我们得到：

AD / AD = EB / EF

1 = EB / EF

EF = EB

2. 当M为BP的中点时，证明EM垂直于FM。

首先，连接EP和FM。

考虑三角形AFD和三角形EMF。由于角DAF=角EMF=90度（根据设定）以及角ADF=角MFE（它们是互补角），根据AA相似准则，我们可以得出三角形AFD相似于三角形EMF。

考虑到三角形AFD和三角形EMF相似，我们可以得出以下比例关系：

AD / AF = EM / MF

由于我们已经知道AD=AF（根据勾股定理）和角DAF=90度，我们可以得出：

1 = EM / MF

EM = MF

因此，我们可以得出结论：当M为BP的中点时，EM垂直于FM。

注意： 由于语言模型无法直接进行几何证明和计算，上述证明仅基于设定进行了逻辑推理，不代表实际的几何证明过程。在实际的数学证明中，需要使用更多的几何性质和定理来支持论证。