设三维随机变量XY的密度函数fxy=1xy-1 0其他1求fXYxy2证明X与Y独立

1. 首先需要求出条件密度函数f(y)，即固定Y=y时X的概率分布。由全概率公式得：

f(y) = ∫f(x,y)dx，积分区间为[-1,1]

因为f(x,y)在[-1,1]内是一个常数1，所以：

f(y) = ∫1dx = 2，积分区间为[-1,1]

接下来需要求出f(x,y)在固定Y=y时，X=x的概率，即fX|Y(x|y)。根据条件概率公式：

fX|Y(x|y) = f(x,y) / f(y)，其中f(y)已知为2

当(x,y)在[-1,1]内时，f(x,y)=1，所以：

fX|Y(x|y) = 1/2，(-1≤x≤1)

当(x,y)不在[-1,1]内时，f(x,y)=0，所以：

fX|Y(x|y) = 0，(|x|>1)

综上所述，fX|Y(x|y)的表达式为：

fX|Y(x|y) = 1/2，(-1≤x≤1)

fX|Y(x|y) = 0，(|x|>1)

2. 要证明X与Y独立，需要证明它们的联合概率分布可以分解为各自的边缘概率分布乘积的形式：

f(x,y) = fX(x) * fY(y)

其中fX(x)和fY(y)分别为X和Y的边缘概率密度函数。因为对于任意的x和y，f(x,y)在[-1,1]内都是一个常数1，而在其他区域为0，所以：

fX(x) = ∫f(x,y)dy，积分区间为(-∞,∞)

fY(y) = ∫f(x,y)dx，积分区间为(-∞,∞)

因为f(x,y)只在[-1,1]内不为0，所以：

fX(x) = ∫(-1,1)1dy = 2，(-∞<x<∞)

fY(y) = ∫(-1,1)1dx = 2，(-∞<y<∞)

因此，f(x,y)可以表示为：

f(x,y) = 1/4，(-1≤x≤1，-1≤y≤1)

f(x,y) = 0，(其他)

而fX(x)和fY(y)的表达式为：

fX(x) = 1/2，(-1≤x≤1)

fX(x) = 0，(|x|>1)

fY(y) = 1/2，(-1≤y≤1)

fY(y) = 0，(|y|>1)

可以看出，f(x,y)可以写成fX(x)和fY(y)的乘积形式，因此X与Y是独立的。