sin(n)*(n+3)/(n^2-1) 在n趋于无穷时的极限

本文旨在求解函数 f(n) = sin(n) * (n + 3) / (n^2 - 1) 在 n 趋向正无穷时的极限。

分析:

观察: 当n趋向于正无穷时，分子部分 sin(n) * (n + 3) 中，sin(n) 的取值范围在-1到1之间，是有界的；(n+3) 则趋向于正无穷。分母部分 (n^2 - 1) 也趋向于正无穷。
简化: 为了更容易处理，我们将函数 f(n) 重写成以下形式：

f(n) = (sin(n) / n^2) * ((n + 3) / (1 - 1/n^2))
分别求极限: 现在我们分别考虑两个因子: (sin(n) / n^2) 和 ((n + 3) / (1 - 1/n^2)) 的极限。
- (sin(n) / n^2): 根据夹逼定理，由于 -1 ≤ sin(n) ≤ 1，当 n 趋向于正无穷时，(sin(n) / n^2) 的极限为 0。
- ((n + 3) / (1 - 1/n^2)): 这个因子可以化简为 (n^3 + 3n^2) / (n^2 - 1)。当 n 趋向于正无穷时，该表达式的值趋向于正无穷。
结果: 由于第一个因子趋向于0，而第二个因子趋向于正无穷，因此函数 f(n) 在 n 趋向于正无穷时的极限为：

lim(n→∞) f(n) = +∞

结论:

函数 sin(n)*(n+3)/(n^2-1) 在 n 趋向于正无穷时的极限为正无穷。