两条平行直线距离公式推导：D = |C2 - C1| / √(A^2 + B^2)

两条平行直线距离公式推导：D = |C2 - C1| / √(A^2 + B^2)

本文将使用向量法推导两条平行直线距离公式。

1. 问题描述

假设有两条平行直线 L1 和 L2，它们的法向量分别为 n1 = (A, B) 和 n2 = (A, B)。 注意，由于 L1 和 L2 平行，它们的斜率相同，因此法向量也相同。

2. 推导过程

• 由于 L1 和 L2 平行，它们的法向量方向相同，可以表示为 n2 = kn1, 其中 k 为比例系数。* 在直线 L1 上任取一点 P1(x1, y1)，它到直线 L2 的距离为向量 P1P2 的模长，其中 P2 是直线 L2 上的一点，且向量 P1P2 与法向量 n1 平行。* 根据向量性质，P1P2 可以表示为 P1P2 = n1 / ||n1|| * d, 其中 d 为 P1P2 的长度，即 P1 到 L2 的距离。因此，P1P2 = (A, B) / √(A^2 + B^2) * d。* 另一方面，P1P2 也可以表示为 P1P2 = P2 - P1 = (x2 - x1, y2 - y1), 其中 P2(x2, y2) 为直线 L2 上的一点。* 结合上述两种表示方法，得到 (A, B) / √(A^2 + B^2) * d = (x2 - x1, y2 - y1)。* 直线 L2 的一般方程为 Ax + By + C2 = 0，将点 P2(x2, y2) 代入，得到 C2 = -Ax2 - By2。同理，对于直线 L1 上的点 P1(x1, y1)，可得 C1 = -Ax1 - By1。* 将 C1 和 C2 代入上述公式 (A, B) / √(A^2 + B^2) * d = (x2 - x1, y2 - y1)，得到 (A, B) / √(A^2 + B^2) * d = (-Ax2 - By2 + Ax1 + By1)。* 化简得到 d = |(-Ax2 - By2 + Ax1 + By1)| / √(A^2 + B^2) = |C2 - C1| / √(A^2 + B^2)。

3. 结论

因此，两条平行直线之间的距离公式为 D = |C2 - C1| / √(A^2 + B^2)，其中 (A, B) 为法向量，C1 和 C2 分别为两条直线一般方程中的常数项。