多元函数偏导数计算：z = (x² + y²)²

计算多元函数 z = (x² + y²)² 的偏导数

根据给定的函数关系：

z = u² u = x² + y²

我们需要计算 ∂z/∂x 和 ∂z/∂y。

计算 ∂z/∂x

根据链式法则：

∂z/∂x = (∂z/∂u) * (∂u/∂x)

首先计算 ∂z/∂u：

由 z = u² 得到 ∂z/∂u = 2u

然后计算 ∂u/∂x：

由 u = x² + y² 得到 ∂u/∂x = 2x

将以上结果代入 ∂z/∂x 的计算公式：

∂z/∂x = 2u * 2x = 4ux

计算 ∂z/∂y

同样利用链式法则：

∂z/∂y = (∂z/∂u) * (∂u/∂y)

∂z/∂u 在上一步已经计算过，结果为 2u。

计算 ∂u/∂y：

由 u = x² + y² 得到 ∂u/∂y = 2y

将结果代入 ∂z/∂y 的计算公式：

∂z/∂y = 2u * 2y = 4uy

结论

根据以上计算，对于函数 z = (x² + y²)²，我们得到：

∂z/∂x = 4ux ∂z/∂y = 4uy