C++ 实现宿舍分配方案计数 - 组合数学应用

C++ 实现宿舍分配方案计数 - 组合数学应用

问题描述

考虑以下应用场景：山东建筑大学烟台校区启用，现需要为 n 位同学分配宿舍。假设学校充分尊重同学们的意见，即可以任何 x 个同学使用一间宿舍 (x > 0)，问：一共有多少种宿舍分配方案？

示例

例如：n=3 时，共有 3 位同学需要分配宿舍，假设为张三、李四、王五 3 位同学，则可以有以下 5 种分配方案：

1. 每位同学一个宿舍
2. 张三同学单独一间，其余两人共用一间
3. 李四同学单独一间，其余两人共用一间
4. 王五同学单独一间，其余两人共用一间
5. 三位同学共用一间

假设学校宿舍的房间数不小于学生数量。

输入

学生数量 n，n <= 100。

输出

所有分配方案的数量。

样例输入

3

样例输出

5

C++ 代码实现

#include<iostream>
using namespace std;

// 计算组合数C(n, m)
int combination(int n, int m) {
    if (n < m) {
        return 0;
    }
    if (m == 0 || n == m) {
        return 1;
    }
    int result = 1;
    for (int i = n; i > n - m; i--) {
        result *= i;
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        result /= i;
    }
    return result;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    int result = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        result += combination(n, i);
    }
    cout << result << endl;
    return 0;
}

解释

该代码的核心思路是利用组合数学中的组合数公式。对于 n 个学生，每个学生都有两种选择：单独一间或与其他同学共用。因此，总的分配方案数量等于将 n 个学生分成若干组的方案数。

根据组合数学知识，将 n 个学生分成 i 个组的方案数为 C(n, i)，即从 n 个学生中选择 i 个学生组成一个组的方案数。因此，总的分配方案数量为所有 i 的 C(n, i) 的和，即：

∑(i=1 to n) C(n, i)

代码中，combination(n, m) 函数用于计算组合数 C(n, m)，main 函数遍历所有可能的组数 i，并计算其对应的组合数 C(n, i)，最终将所有组合数相加得到总的分配方案数量。

总结

本文通过 C++ 代码实现，结合组合数学知识，解决了宿舍分配方案计数问题。该代码简洁易懂，能够有效地解决此类问题。希望本文对您有所帮助。