求解极限：arcsin(2x) / tan(3x) (x 趋近于 0)

当 x 趋近于 0 时，我们可以使用三角函数的定义来求解该极限。

我们要求解的极限是：lim(x→0) (arcsin(2x) / tan(3x))

首先，我们回顾一下三角函数的定义：

arcsin(x) 定义为满足 -π/2 ≤ arcsin(x) ≤ π/2 的角度，使得 sin(arcsin(x)) = x。

tan(x) 定义为 sin(x) / cos(x)。

我们可以将 arcsin(2x) 和 tan(3x) 代入其定义并求解极限：

lim(x→0) (arcsin(2x) / tan(3x))

= lim(x→0) (sin(arcsin(2x)) / (sin(3x) / cos(3x)))

= lim(x→0) (2x / (sin(3x) / cos(3x)))

= lim(x→0) (2x * (cos(3x) / sin(3x)))

= lim(x→0) (2x * cos(3x) / sin(3x))

现在，我们可以使用夹逼定理（Squeeze Theorem）来求解极限。当 x 趋近于 0 时，3x 也趋近于 0，因此可以得到以下不等式：

-1 ≤ cos(3x) ≤ 1 0 < sin(3x) < 3x

将上述不等式代入极限表达式中：

-2x ≤ 2x * cos(3x) / sin(3x) ≤ 2x * (1 / (3x))

取极限：

lim(x→0) (-2x) ≤ lim(x→0) (2x * cos(3x) / sin(3x)) ≤ lim(x→0) (2x * (1 / (3x)))

0 ≤ lim(x→0) (2x * cos(3x) / sin(3x)) ≤ 2/3

根据夹逼定理，当 x 趋近于 0 时，极限表达式的极限为 0。

因此，当 x 趋近于 0 时，arcsin(2x) 除以 tan(3x) 的极限为 0，使用三角函数的定义和夹逼定理成功求解。