已知 a>0, b>0, 1/a+2b=1, 则 a^(a-1)+b^(b-2) 的最小值为_。

【例2】已知 a>0, b>0, 1/a+2b=1, 则 a^(a-1)+b^(b-2) 的最小值为_。

我们可以对 a^(a-1)+b^(b-2) 进行整理： a^(a-1)+b^(b-2) = a^2 * a^(-1) + b^2 * b^(-2) = a^(2-1) + b^(2-2) = a + 1/b.

根据已知条件 1/a+2b=1，我们可以得到 a = 1 - 2b，将其代入 a + 1/b，得到： a + 1/b = 1 - 2b + 1/b = (b - 2b^2 + 1) / b.

为了找到最小值，我们需要对 (b - 2b^2 + 1) / b 进行最小化。可以使用导数法来找到最小值点。对 (b - 2b^2 + 1) / b 求导，得到： d/db [(b - 2b^2 + 1) / b] = (1 - 4b) / b^2.

令导数等于0，解出 b 的值： (1 - 4b) / b^2 = 0, 1 - 4b = 0, b = 1/4.

将 b = 1/4 代入 (b - 2b^2 + 1) / b，得到最小值： (1/4 - 2(1/4)^2 + 1) / (1/4) = (1/4 - 1/8 + 1) / (1/4) = (1/8 + 1) / (1/4) = (9/8) * (4/1) = 9.

因此， a^(a-1)+b^(b-2) 的最小值为 9.

【变式】已知 x>0, y>0, 且 x²-xy=2, 则 x+6x+1/(x-y) 的最小值为() (A) 6 (B) 62 (C) 3 (D) 32

我们可以对 x+6x+1/(x-y) 进行整理： x+6x+1/(x-y) = 7x + 1/x - y.

由已知条件 x²-xy=2，我们可以得到 y = x²/2. 将其代入 7x + 1/x - y，得到： 7x + 1/x - y = 7x + 1/x - x²/2.

为了找到最小值，我们需要对 7x + 1/x - x²/2 进行最小化。同样地，我们使用导数法来找到最小值点。对 7x + 1/x - x²/2 求导，得到： d/dx (7x + 1/x - x²/2) = 7 - 1/x² - x.

令导数等于0，解出 x 的值： 7 - 1/x² - x = 0, 7x² - x² - x³ = 0, 6x² - x(x + 1) = 0, x(6x - x - 1) = 0, x(5x - 1) = 0.

解得 x = 0 或 x = 1/5. 由于题目给定 x > 0，所以我们取 x = 1/5.

将 x = 1/5 代入 7x + 1/x - x²/2，得到最小值： 7(1/5) + 1/(1/5) - (1/5)²/2 = 7/5 + 5 - 1/50 = 35/10 + 50/10 - 1/50 = 360/50 = 18/5.

因此， x+6x+1/(x-y) 的最小值为 18/5.

【例3】已知 x>0, y>0, 且 x+2y=1, 则 (x+1)(y+1)/xy 的最小值为_。

我们可以对 (x+1)(y+1)/xy 进行展开： (x+1)(y+1)/xy = xy(x+1)(y+1) = xy(x²+x+y+1).

由已知条件 x+2y=1，我们可以得到 x = 1-2y. 将其代入 xy(x²+x+y+1)，得到： xy(x²+x+y+1) = (1-2y)y((1-2y)²+(1-2y)+y+1) = (1-2y)y(1-4y+4y²+1-2y+y+1) = (1-2y)y(2-6y+4y²).

为了找到最小值，我们需要对 (1-2y)y(2-6y+4y²) 进行最小化。同样地，我们使用导数法来找到最小值点。对 (1-2y)y(2-6y+4y²) 求导，得到： d/dy [(1-2y)y(2-6y+4y²)] = (1-2y)(2-6y+4y²) + (1-2y)y(-6+8y).

令导数等于0，解出 y 的值： (1-2y)(2-6y+4y²) + (1-2y)y(-6+8y) = 0, (1-2y)[2-6y+4y²-y(-6+8y)] = 0, (1-2y)[2-6y+4y²+6y-8y²] = 0, (1-2y)(-6y-4y²+2) = 0, (1-2y)(-2y²-3y+1) = 0.

解得 y = 1 或 y = 1/2. 由于题目给定 y > 0，所以我们取 y = 1/2.

将 y = 1/2 代入 (1-2y)y(2-6y+4y²)，得到最小值： (1-2(1/2))(1/2)(2-6(1/2)+4(1/2)²) = 0(1/2)(2-3+1) = 0(1/2)(0) = 0.

因此， (x+1)(y+1)/xy 的最小值为 0.