用基本不等式求解最小值问题

用基本不等式求解最小值问题

例2

已知 a>0, b>0, 1/a+2/b=1, 则 (a/a-1)+(b/b-2) 的最小值为_。

根据基本不等式，对于任意的正数 a 和 b，有 a^2 + b^2 ≥ 2ab。

将 (a/a-1)+(b/b-2) 进行整理： (a/a-1)+(b/b-2) = a^2 * a^(-1) + b^2 * b^(-2) = a^(2-1) + b^(2-2) = a + 1/b。

根据已知条件 1/a+2/b=1，我们有 1 = a + 2b, 也就是 a = 1 - 2b。

将 a = 1 - 2b 代入 a + 1/b，得到： a + 1/b = (1 - 2b) + 1/b = 1 - b + 1/b。

根据基本不等式，我们知道 1 - b + 1/b ≥ 2√((1-b)*(1/b)) = 2√(1-b)/√b。

根据已知条件 1/a+2/b=1，我们有 b = (1 - a)/2, 代入 √(1-b)/√b，得到： 2√(1-b)/√b = 2√(1-(1-a)/2)/√((1-a)/2) = 2√(a+1)/√(1-a)。

因此， (a/a-1)+(b/b-2) 的最小值为 2√(a+1)/√(1-a)。

变式

已知 x>0, y>0, 且 x²-xy=2, 则 x+6x+1/x-y 的最小值为()

根据基本不等式，对于任意的正数 x 和 y，有 x + y ≥ 2√(xy)。

将 x+6x+1/x-y 进行整理： x+6x+1/x-y = 8x + 1/x - y。

根据已知条件 x²-xy=2，我们有 x² = xy + 2, 也就是 2√(xy) = 2√(x²-2)。

将 2√(xy) = 2√(x²-2) 代入 8x + 1/x - y，得到： 8x + 1/x - y ≥ 2√(x²-2)。

因此， x+6x+1/x-y 的最小值为 2√(x²-2)。

例3

已知 x>0, y>0, 且 x+2y=1, 则 (x+1)(y+1)/xy 的最小值为_。

根据基本不等式，对于任意的正数 a 和 b，有 ab ≤ ((a+b)/2)^2。

将 (x+1)(y+1)/xy 进行整理： (x+1)(y+1)/xy = xy(x+1)(y+1) = xy(x²+x+y+1)。

根据已知条件 x+2y=1，我们有 x = 1 - 2y。

将 x = 1 - 2y 代入 xy(x²+x+y+1)，得到： xy(x²+x+y+1) = y(1 - 2y)(1-2y+1+y+1) = y(2 - 6y + 4y²)。

根据基本不等式，我们知道 y(2 - 6y + 4y²) ≥ ((2+y)/2)^2 = (y+1)^2。

因此， (x+1)(y+1)/xy 的最小值为 (y+1)^2。