如何证明矩阵 (XᵀX + λI) 可逆？

证明矩阵 (XᵀX + λI) 的可逆性

目标: 证明矩阵 (XᵀX + λI) 可逆，其中 Xᵀ 是矩阵 X 的转置矩阵，I 为单位矩阵，λ > 0 为标量。

证明:

为证明矩阵可逆，我们需要证明它的行列式不等于零，即 det(XᵀX + λI) ≠ 0。

1. 对称半正定矩阵: 首先，我们知道 XᵀX 是一个对称半正定矩阵。这是因为对于任意非零向量 v，有：

   vᵀXᵀXv = (Xv)ᵀ(Xv) = ||Xv||² ≥ 0

2. 正定矩阵: 由于 λ > 0，对于任意非零向量 v，有：

   vᵀ(XᵀX + λI)v = vᵀXᵀXv + λvᵀv ≥ 0 + λvᵀv > 0

   这意味着矩阵 (XᵀX + λI) 是正定的。

3. 特征值与行列式: 正定矩阵的所有特征值都大于零。而矩阵的行列式等于其所有特征值的乘积：

   det(XᵀX + λI) = λⁿ * (所有特征值的乘积)

   由于 λ > 0，而所有特征值都大于零，所以 det(XᵀX + λI) ≠ 0。

结论:

由于 det(XᵀX + λI) ≠ 0，矩阵 (XᵀX + λI) 可逆，即 (XᵀX + λI)⁻¹ 存在。

总结:

通过证明 (XᵀX + λI) 是正定矩阵，并利用正定矩阵的性质，我们成功地证明了矩阵 (XᵀX + λI) 在 λ > 0 的情况下是可逆的。