序列极限与自身次方极限相等性的证明：当底数也存在极限时

当底数也存在极限时，如何证明序列极限与其自身次方极限相等？

假设我们有一个序列 {an}，其极限为 L，即 lim(n→∞) an = L。同时，假设 a 本身也存在极限，即 lim(n→∞) a = A。我们需要证明 lim(n→∞) an^a = L^A。

证明过程：

利用指数函数的连续性: 指数函数 f(x) = x^a 在 x = A 处是连续的。根据连续性的定义，对于任意趋近于 A 的数列 xn，如果 lim(n→∞) xn = A，则 lim(n→∞) f(xn) = f(A)。
应用连续性到证明: 由于 lim(n→∞) an = L 且 lim(n→∞) a = A，根据指数函数的连续性，我们可以得到： lim(n→∞) (an)^a = lim(n→∞) f(an) = f(lim(n→∞) an)
化简表达式: 将 lim(n→∞) an = L 代入上式，得到： f(lim(n→∞) an) = f(L)
得到最终结果: 将 f(x) = x^a 代入上式，得到最终结果： f(L) = L^A

因此，我们证明了 lim(n→∞) (an)^a = L^A，即对于一个存在极限的序列，其极限值与其自身a次方的极限值相等，即使a本身也存在极限。

总结:

这个证明的关键在于利用了指数函数的连续性。通过将连续性的概念应用于极限，我们能够证明这个重要的数学结论。希望这个证明过程清晰易懂，对您有所帮助！