矩阵乘以其转置矩阵：结果与性质

矩阵乘以自己的转置矩阵等于一个对称矩阵。

定义：

• 转置矩阵： 将矩阵的行和列互换得到的矩阵称为转置矩阵，记为 A' 或 A^T。
• 对称矩阵： 矩阵与其转置矩阵相等，即 A = A'，则该矩阵为对称矩阵。

证明：

假设矩阵 A 为 m × n 矩阵，则 A' 为 n × m 矩阵。因此，A × A' 的结果为 m × m 矩阵。

设 A × A' 的第 i 行第 j 列元素为 Cij，则：

其中 aik 表示 A 的第 i 行第 k 列元素，a'jk 表示 A' 的第 j 行第 k 列元素。

根据转置矩阵的定义，a'jk = aki。因此，

```Cij = Σk=1 to n (aik * aki)

由于 aik * aki = aji * aji，因此 Cij = Cji，即 A × A' 为对称矩阵。

**总结：**

矩阵乘以自己的转置矩阵的结果是一个对称矩阵。这是一个重要的矩阵性质，在许多数学和工程领域都有应用。