数列有收敛子列一定有界吗？-附详细证明

数列有收敛子列一定有界吗？

问题： 若一个数列存在收敛子列，那么该数列是否一定有界？

答案： 是的。

证明： 我们使用反证法来证明。

假设： 数列 {a_n} 有收敛子列 {a_{n_k}}，其中 {a_{n_k}} 收敛于某个极限 L，但数列 {a_n} 无界。

推导：

1. 数列无界性: 由于假设数列 {a_n} 无界，那么对于任意给定的正数 M，都存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，有 |a_n| > M。

2. 收敛子列性质: 由于 {a_{n_k}} 是 {a_n} 的收敛子列，根据数列收敛的定义，对于任意给定的正数 ε，存在正整数 N_1，使得对所有的 k > N_1，有 |a_{n_k} - L| < ε。

3. 矛盾产生: 我们可以选择 ε = 1。根据收敛子列的性质，存在 N_1 使得当 k > N_1 时， |a_{n_k} - L| < 1。 这意味着对于 k > N_1， a_{n_k} 位于区间 (L-1, L+1) 内。 然而，由于数列 {a_n} 无界，我们可以选择一个足够大的 M 使得 M > |L| + 1。根据无界性的定义，存在一个 N 使得当 n > N 时， |a_n| > M > |L| + 1。 这意味着存在某个 a_{n_k} (其中 k > N_1 且 n_k > N) 满足 |a_{n_k}| > |L| + 1， 这与 a_{n_k} 位于区间 (L-1, L+1) 内矛盾。

结论： 由于我们的假设导致了矛盾，因此假设不成立。所以，如果一个数列有收敛子列，那么该数列一定有界。

证毕。