出一道很难的二元三次方程并解答

我们来考虑如下的二元三次方程：

$$ \begin{cases} x^3+y^3=10 \ x^2y+xy^2=3 \ \end{cases} $$

解答：

首先，我们注意到这个方程是有对称性的，即交换 $x$ 和 $y$ 的值并不影响方程的解。因此，我们可以不失一般性地假设 $x \geq y$。

接下来，我们考虑将第二个方程化简。注意到 $x^2y+xy^2=xy(x+y)$，因此我们可以将它代入第一个方程中：

$$ x^3+y^3=10 \ xy(x+y)=3 \ $$

我们现在可以使用代数技巧来解决这个方程组。首先，我们将 $x^3$ 和 $y^3$ 分别写成 $(x+y)^3-3xy(x+y)$ 和 $(x+y)^3-3xy(x+y)$ 的形式：

$$ (x+y)^3-3xy(x+y)=10 \ xy(x+y)=3 \ $$

我们将第二个方程代入第一个方程中，得到

$$(x+y)^3-9=10$$

因此，

$$(x+y)^3=19$$

现在我们可以将 $xy$ 用 $x+y$ 表示出来：

$$xy=\frac{3}{x+y}$$

我们将这个表达式代入第一个方程中，得到

$$(x+y)^3-3xy(x+y)=10$$

将 $xy$ 用 $x+y$ 表示出来，得到

$$(x+y)^3-\frac{9}{x+y}=10$$

我们令 $u=x+y$，则上面的方程可以写成

$$u^4-10u^2+9=0$$

这是一个关于 $u^2$ 的二次方程，解出来有两个根：

$$u^2=1,9$$

因此，

$$u=\pm 1, \pm 3$$

我们还需要检查 $u=x+y$ 是否大于等于 $2\sqrt{xy}$，以保证 $x$ 和 $y$ 是实数。由于 $xy=3/u$，因此我们需要检查 $u^2 \geq 12$，即 $u \geq 2\sqrt{3}$。因此，我们只需要考虑 $u=3$ 和 $u=-1$ 的情况。

当 $u=3$ 时，我们有 $x+y=3$ 和 $xy=1$。这个方程组的解可以通过求解下面的二次方程得到：

$$t^2-3t+1=0$$

通过求根公式，我们可以得到 $t=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$。因此，

$$(x,y) = \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right) \text{ 或 } \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)$$

当 $u=-1$ 时，我们有 $x+y=-1$ 和 $xy=-3$。这个方程组的解可以通过求解下面的二次方程得到：

$$t^2+t-3=0$$

通过求根公式，我们可以得到 $t=\frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$。因此，

$$(x,y) = \left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2},\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right) \text{ 或 } \left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2},\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)$$

综上所述，原方程的解为：

$$(x,y) = \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right), \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right), \left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2},\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right), \left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2},\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)$$