如何计算极限 lim_(x→∞) x^3(∛((x^3+x)/(x^6+x^3+1)) - sin(1)/x)

要计算极限 lim_(x→∞) x^3(∛((x^3+x)/(x^6+x^3+1)) - sin(1)/x)，我们可以进行如下的步骤：

首先，我们可以对根式中的分子和分母同时进行 x^3 的除法，得到：

lim_(x→∞) x^3(∛((1+1/x^3)/(x^3+1/x^3+1/x^6)) - sin(1)/x)

接下来，我们可以进行分式的简化和化简：

lim_(x→∞) x^3(∛(1/x^3 * (x^3+1/x^3)/(x^3+1/x^3+1/x^6)) - sin(1)/x)

我们可以看到，当 x 趋向于无穷大时，1/x^3 和 1/x^6 都会趋向于零。因此，我们可以忽略分式中的这两个项，得到：

lim_(x→∞) x^3(∛((x^3+1/x^3)/x^3) - sin(1)/x)

继续简化：

lim_(x→∞) x^3(∛(1+1/x^6) - sin(1)/x)

现在，我们可以将极限中的各项展开：

lim_(x→∞) x^3(1+1/(3x^6) - sin(1)/x)

继续化简：

lim_(x→∞) x^3(1+1/(3x^6) - sin(1)/x)

我们可以观察到，当 x 趋向于无穷大时，1/(3x^6) 和 sin(1)/x 都会趋向于零。因此，我们可以忽略这两个项，得到极限的结果：

lim_(x→∞) x^3 * 1 = ∞

因此，lim_(x→∞) x^3(∛((x^3+x)/(x^6+x^3+1)) - sin(1)/x) 的极限为正无穷大 (∞)。