在AABC中角ABC的对边分别为口c若AABC为锐角三角形且满足sinB1+2cosC=2snAcosC+cosAsnC则下列等式成立的是

根据正弦定理，有以下等式成立：

$\sin A=\frac{a}{2R}$

$\sin B=\frac{b}{2R}$

$\sin C=\frac{c}{2R}$

其中，R为AABC的外接圆半径。

将以上三个式子代入原等式中，得到：

$\frac{b}{2R}(1+2\cos C)=2\frac{a}{2R}\cos C+\frac{c}{2R}\sin A$

化简得：

$b(1+2\cos C)=a\cos C+c\sin A$

将$\sin A$用$\cos C$表示，得到：

$\sin A=\sqrt{1-\cos^2A}=\sqrt{1-(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})^2}=\frac{2\Delta}{bc}$

其中，$\Delta$为AABC的面积。

代入原等式，得到：

$b(1+2\cos C)=a\cos C+\frac{2\Delta}{b}$

化简得：

$2b\cos C-a\cos C=2\Delta/b$

再将$\Delta$用海伦公式表示，得到：

$2b\cos C-a\cos C=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}/b$

其中，p为AABC的半周长。

继续化简，得到：

$2\cos C=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{ab}+\frac{a}{2b}$

将$\cos C$用$\sin B$表示，得到：

$\cos C=\sqrt{1-\sin^2B}=\sqrt{1-(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac})^2}=\frac{2\Delta}{ac}$

代入原等式，得到：

$b(1+2\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac})=2a\frac{2\Delta}{ac}+\frac{c}{2R}\frac{2\Delta}{ac}$

化简得：

$b(a^2+c^2-b^2)=2a\Delta+c^2\sin B$

再将$\Delta$用海伦公式表示，得到：

$b(a^2+c^2-b^2)=4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}+c^2\sin B$

综上所述，下列等式成立：

$b(1+2\cos C)=a\cos C+c\sin A$

$b(a^2+c^2-b^2)=4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}+c^2\sin B$