实多项式全体的基数与01

之间的基数相同。

这是一个经典的结论，称为Cantor-Bernstein-Schroeder定理。它表明，如果存在两个集合A和B之间的双射（一一对应），那么它们的基数相同。因此，我们只需要找到一个从实多项式到[0,1]的双射和一个从[0,1]到实多项式的双射，就可以证明它们的基数相同。

一个从实多项式到[0,1]的双射可以如下构造：将每个实多项式f(x)映射到它在[0,1]上的值序列(f(0), f(1/2), f(1/4), f(3/4), f(1/8), f(3/8), f(5/8), f(7/8), ...)。这个映射是单射，因为不同的实多项式必须在某个位置上取不同的值。它也是满射，因为对于任何实数序列a=(a1, a2, a3, ...)，我们可以构造一个实多项式f(x)，使得f(2^{-n})=a_n。例如，可以令f(x)为a0+a1x+a2x^2+...+anx^n+...，其中an是a中的第n个元素。

一个从[0,1]到实多项式的双射可以如下构造：将每个实数x映射到它的二进制展开式，然后将每一位映射到一个不同的实多项式。例如，将第k位映射到x^k，那么0.101101010...就映射到f(x)=x^1+x^3+x^4+x^6+x^8+x^9+...。这个映射是单射，因为任何两个不同的二进制展开式必须在某个位置上不同。它也是满射，因为对于任何实多项式f(x)，我们可以将每个系数的二进制展开式拼接起来得到一个实数，然后将它映射回一个实多项式。例如，将0.101101010...映射回f(x)就得到上面的多项式。

因此，我们已经证明了实多项式全体的基数与[0,1]之间的基数相同。