请帮我列举一份线性代数的试卷

以下是一份可能的线性代数试卷：

给定矩阵$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求其转置矩阵$A^T$和逆矩阵$A^{-1}$。
给定向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix}$和$\mathbf{w}=\begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$，求它们的内积$\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}$和外积$\mathbf{v}\times\mathbf{w}$。
给定线性方程组$\begin{cases} x+y+z=1 \ x+2y+3z=2 \ x+3y+4z=3 \end{cases}$，求其解集。
给定一个线性变换$T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$，使得$T\begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \ 3 \end{bmatrix}$和$T\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 \ 1 \end{bmatrix}$，求其矩阵表示$[T]$。
给定两个矩阵$B=\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$和$C=\begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix}$，求它们的乘积$BC$和和$B+C$。
给定一个向量空间$V$和其子空间$W$，证明$W$的正交补$W^\perp$也是一个子空间。
给定一个矩阵$D=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$，证明其特征值为$1,2,3$，并求其对应的特征向量。
给定两个线性变换$S,T$，证明其复合$T\circ S$也是一个线性变换，并求其矩阵表示$[T\circ S]$。
给定一个矩阵$E=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 2 \ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$，求其行列式$\det(E)$和秩$\operatorname{rank}(E)$。
给定一个向量空间$V$和其基${\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3}$，证明任意向量$\mathbf{u}\in V$都可以唯一表示为$\mathbf{u}=a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}3$的形式，并求其坐标向量$[\mathbf{u}]{{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3}}$。