(x⁴+2x²-3)/(x²-3x+2) 在 x→1 时的极限值计算

(x⁴+2x²-3)/(x²-3x+2) 在 x→1 时的极限值计算

本文将演示如何计算表达式 (x⁴+2x²-3)/(x²-3x+2) 在 x 趋向于 1 时的极限值。

1. 直接代入法

首先，尝试将 x=1 直接代入表达式：

• 分子：(1⁴ + 2 * 1² - 3) = (1 + 2 - 3) = 0* 分母：(1² - 3 * 1 + 2) = (1 - 3 + 2) = 0

结果是 0/0，这是一个未定式，无法直接得到极限值。

2. 洛必达法则

由于直接代入法得到未定式，我们需要使用更高级的极限计算方法，例如洛必达法则。该法则指出，如果一个极限是 0/0 或 ∞/∞ 的形式，那么它等于分子和分母的导数之比的极限（如果该极限存在）。

• 对分子求导: 4x³ + 4x = 4x(x² + 1)* 对分母求导: 2x - 3

将 x=1 代入导数表达式：

• 分子的导数: 4 * 1(1² + 1) = 8* 分母的导数: 2 * 1 - 3 = -1

新的极限值为：8 / -1 = -8

结论

因此，表达式 (x⁴+2x²-3)/(x²-3x+2) 在 x 趋向于 1 时的极限值为 -8。