图灵机实现2的指数运算 (2^n) - 算法详解

图灵机实现 2 的指数运算 (2^n) - 算法详解

本文将详细介绍如何使用图灵机 (TM) 来计算 2 的指数运算 (2^n)，其中 n ≥ 0。

TM 设计思想

该图灵机通过迭代地将输入的 2 乘以自身 n 次来计算 2 的指数运算 2^n。

TM 定义

• Q: 状态集合，包含初始状态 q0、运算状态 q1、接受状态 q2 和拒绝状态 q3。
• Σ: 输入字母表，包含 '0' 和 '1'。
• Γ: 工作字母表，包含 '0', '1', 'X', 'Y', 'B'。
• δ: 状态转移函数，定义了 TM 的状态转移规则。
• q0: 初始状态。
• B: 空白符号。
• F: 接受状态集合，包含 q2。
• q3: 拒绝状态。
• q1: 运算状态。

状态转移函数

TM 的状态转移函数定义如下：

• δ(q0, 2) = (q1, 'X', R) // 将初始 '2' 替换为 'X'，并移动到右边继续运算
• δ(q1, 2) = (q1, '2', R) // 将 '2' 替换为 '2'，并继续向右移动
• δ(q1, B) = (q2, 'B', N) // 到达空白符号，接受状态
• δ(q1, 0) = (q3, '0', N) // 遇到 '0'，拒绝状态
• δ(q1, 1) = (q3, '1', N) // 遇到 '1'，拒绝状态

实例识别过程

输入: 2^3

初始状态: q0 '2' B B B

第1步: q1 'X' '2' B B

第2步: q1 'X' '2' '2' B

第3步: q1 'X' '2' '2' '2'

第4步: q2 'X' '2' '2' '2'

接受状态, 输出结果为 2^3 = 8。

该图灵机成功地识别并计算了 2^3 的值。