设XY在区域G0y2x0 x 2 上服从均匀分布求XY的联合分布函数

对于任意$(x,y) \in G$，有： $$F_{X,Y}(x,y)=P(X \leq x, Y \leq y)$$ 根据几何意义，可以将$G$分成两个三角形，如下图所示：

因此，当$0<y<x$时，有： $$F_{X,Y}(x,y)=\int_0^y \int_0^x \frac{1}{4} dxdy=\frac{xy}{8}$$ 当$y \geq x$时，有： $$F_{X,Y}(x,y)=\int_0^x \int_0^y \frac{1}{4} dydx + \int_x^y \int_0^x \frac{1}{4} dxdy = \frac{x^2}{8}+\frac{y^2-x^2}{8}=\frac{y^2}{8}$$ 综上所述，$F_{X,Y}(x,y)$的表达式为： $$F_{X,Y}(x,y)=\begin{cases} 0,&y \leq 0 \text{或} y \geq 2x\ \frac{xy}{8},&0<y<x\ \frac{y^2}{8},&y \geq x \end{cases}$$