MATLAB实现时域采样与频域采样

本文介绍了如何使用MATLAB实现时域采样与频域采样，并通过绘制不同采样频率下的信号波形和频谱图，验证了采样定理。

1. 时域采样

时域采样是指以一定的频率对连续时间信号进行采样，得到离散时间信号的过程。采样频率必须大于等于信号最高频率的两倍，才能保证信号的信息不丢失，这就是著名的奈奎斯特采样定理。

以下代码演示了如何使用MATLAB对一个衰减正弦信号进行不同采样频率的采样，并绘制出相应的时域波形和频谱图：

Tp = 64 / 1000;  % 观察时间 Tp = 64 微秒

% Fs = 1000; T = 1 / Fs;
Fs = 1000;
T = 1 / Fs;

% 产生 M 长采样序列 x(n)
M = round(Tp * Fs);  % 修正采样点数为最接近的整数
n = 0:M-1;
A = 444.128;
alph = pi * 50 * 2^0.5;
omega = pi * 50 * 2^0.5;
xnt = A * exp(-alph * n * T) .* sin(omega * n * T);
Xk = T * fft(xnt, M);  % M 点 FFT[(xnt)]

yn = 'xa(nT)';
figure('Name', 'Fs = 1000Hz');
subplot(3, 2, 1);
tstem(xnt, yn);
box on;
title('Fs = 1000Hz');

k = 0:M-1;
fk = k / Tp;
subplot(3, 2, 2);
plot(fk, abs(Xk));
title('T*FT[xa(nT)], Fs = 1000Hz');
xlabel('f(Hz)');
ylabel('Amplitude');
axis([0, Fs, 0, 1.2 * max(abs(Xk))]);

% Fs = 300Hz 的情况
Fs = 300;
T = 1 / Fs;

M = round(Tp * Fs);  % 修正采样点数为最接近的整数
n = 0:M-1;
xnt = A * exp(-alph * n * T) .* sin(omega * n * T);
Xk = T * fft(xnt, M);  % M 点 FFT[(xnt)]

yn = 'xa(nT)';
figure('Name', 'Fs = 300Hz');
subplot(3, 2, 1);
tstem(xnt, yn);
box on;
title('Fs = 300Hz');

k = 0:M-1;
fk = k / Tp;
subplot(3, 2, 2);
plot(fk, abs(Xk));
title('T*FT[xa(nT)], Fs = 300Hz');
xlabel('f(Hz)');
ylabel('Amplitude');
axis([0, Fs, 0, 1.2 * max(abs(Xk))]);

% Fs = 200Hz 的情况
Fs = 200;
T = 1 / Fs;

M = round(Tp * Fs);  % 修正采样点数为最接近的整数
n = 0:M-1;
xnt = A * exp(-alph * n * T) .* sin(omega * n * T);
Xk = T * fft(xnt, M);  % M 点 FFT[(xnt)]

yn = 'xa(nT)';
figure('Name', 'Fs = 200Hz');
subplot(3, 2, 1);
tstem(xnt, yn);
box on;
title('Fs = 200Hz');

k = 0:M-1;
fk = k / Tp;
subplot(3, 2, 2);
plot(fk, abs(Xk));
title('T*FT[xa(nT)], Fs = 200Hz');
xlabel('f(Hz)');
ylabel('Amplitude');
axis([0, Fs, 0, 1.2 * max(abs(Xk))]);

2. 频域采样

频域采样是指对信号的频谱进行采样，得到离散频率的频谱。频域采样的点数决定了时域信号的长度，即频域采样点数越多，时域信号长度越长。

以下代码演示了如何使用MATLAB对一个三角波信号进行频域采样，并验证了频域采样定理：

%=========2 频域采样理论的验证程序清单=========
M = 27;
N = 32;
n = 0:M;

% 产生 M 长三角波序列 x(n)
xa = 0:floor(M/2);
xb = ceil(M/2)-1:-1:0;
xn = [xa, xb];

Xk = fft(xn, 1024);  % 1024 点 FFT[x(n)]，用于近似序列 x(n) 的 TF
X32k = fft(xn, 32);  % 32 点 FFT[x(n)]
x32n = ifft(X32k);  % 32 点 IFFT[X32(k)] 得到 x32(n)
X16k = X32k(1:2:N);  % 隔点抽取 X32k 得到 X16(K)
x16n = ifft(X16k, N/2);  % 16 点 IFFT[X16(k)] 得到 x16(n)

figure('Name', '2 频域采样理论的验证');
subplot(3, 2, 1);
tstem(xn, 'x(n)');
title('三角波序列 x(n)');

k = 0:1023;
wk = 2 * k / 1024;
subplot(3, 2, 2);
plot(wk, abs(Xk));
title('FT[x(n)]');
xlabel('\omega / \pi');
ylabel('|X(e^{j\omega})|');

k = 0:N/2-1;
subplot(3, 2, 3);
tstem(abs(X16k), '|X_{16}(k)|');
title('16 点频域采样');
xlabel('k');
ylabel('|X_{16}(k)|');

subplot(3, 2, 4);
tstem(x16n, 'x_{16}(n)');
title('16 点 IDFT[X_{16}(k)]');
xlabel('n');
ylabel('x_{16}(n)');

k = 0:N-1;
subplot(3, 2, 5);
tstem(abs(X32k), '|X_{32}(k)|');
title('32 点频域采样');
xlabel('k');
ylabel('|X_{32}(k)|');

subplot(3, 2, 6);
tstem(x32n, 'x_{32}(n)');
title('32 点 IDFT[X_{32}(k)]');
xlabel('n');
ylabel('x_{32}(n)');

通过以上代码，我们可以清晰地看到不同采样频率和采样点数对信号的影响，并验证了采样定理。