使用 O(n log n) 个开关实现 n 个输入和 n 个输出的排列器

考虑一个开关，它有两个输入 A 和 B，两个输出 C 和 D。每个输入都是一个位。每个输出也是一个单比特。该开关有两个设置：在一个设置中，A 连接到 C，B 连接到 D，这意味着输出 C 和 D 分别只是输入 A 和 B。在另一种情况下，A 连接到 D，B 连接到 C，这意味着输出 C 和 D 分别是输入 B 和 A。

设 n 为 2 的正幂，我们可以使用递归的方式将这样的开关组装到一个器件中，使得该器件具有 n 个输入和 n 个输出，并且通过在器件中适当地设置开关，输出可以是输入的 n 个排列中的任何一个。

以下是将开关组装到器件中的伪代码：

function assembleSwitches(n):
    // 如果 n 等于 1，则创建单个开关
    if n == 1:
        switch = createSwitch(A, C, B, D)
        return switch
    // 递归情况：组装 n/2 个输入和输出的开关
    else:
        switch1 = assembleSwitches(n/2)
        switch2 = assembleSwitches(n/2)
        // 连接两个开关以形成更大的开关
        for i = 0 to n/2-1:
            connect(switch1.input[i], switch2.output[i])
            connect(switch2.input[i], switch1.output[i])
        return switch1

该伪代码使用递归来构建器件。当 n 为 1 时，即只有一个输入和一个输出时，创建一个开关并将 A 连接到 C，B 连接到 D。对于 n 大于 1 的情况，我们将问题分解为两个子问题：将 (n/2) 个输入和 (n/2) 个输出的开关组装到一个子器件中。然后，我们通过连接这两个子器件的输入和输出，以及交换它们的输入和输出，来构建具有 n 个输入和 n 个输出的器件。

在递归的基本情况下，我们创建一个开关并将 A 连接到 C，B 连接到 D。在递归情况下，我们递归地构建两个子器件，并通过连接它们的输入和输出来连接它们。我们使用一个循环来连接每个子器件的输入和输出，并确保正确地交换它们的输入和输出。

该算法的正确性可以通过数学归纳法证明。在基本情况下，我们只有一个开关，它的输入和输出正确地连接。在递归情况下，我们假设子器件的输入和输出正确地连接。通过连接这两个子器件的输入和输出，并交换它们的输入和输出，我们可以得到一个具有 n 个输入和 n 个输出的器件，其中输出是输入的 n 个排列之一。

该算法的时间复杂度为 O(n log n)，因为我们需要递归地构建 n/2 个子器件，并在每个子器件中进行 O(n/2) 次连接操作。总共有 log n 层递归，因此总的连接操作次数为 O(n log n)。