广义平稳随机过程调制信号的均值、自相关函数和功率谱分析

根据题目的描述，我们可以分步求解 y(t) 的均值、自相关函数和功率谱。

1. 均值： 由于 x(t) 的均值为 0，且 a 和 x(t) 统计独立，可以得出 y(t) 的均值为 0。

2. 自相关函数： 为求解 y(t) 的自相关函数，我们可以使用定义：

R_y(t1, t2) = E[y(t1) * y(t2)]

根据题目中的定义，可以将 y(t) 展开为：

y(t) = x(t) * cos(wt + a)

代入自相关函数的定义，有：

R_y(t1, t2) = E[x(t1) * x(t2) * cos(wt1 + a) * cos(wt2 + a)]

由于 a 服从均匀分布 U(-π, π)，其期望为 0，因此 cos(a) 的期望为 0。而 x(t) 是广义平稳随机过程，与时间无关，所以可以将 x(t1) 和 x(t2) 移到期望 E[] 内。

R_y(t1, t2) = E[x(t1) * x(t2)] * E[cos(wt1 + a) * cos(wt2 + a)]

由于 a 和 x(t) 统计独立，E[x(t1) * x(t2)] 为 x(t) 的自相关函数 R_x(t1, t2)。而 cos(wt1 + a) 和 cos(wt2 + a) 都是周期为 2π 的函数，它们的乘积也是一个周期为 2π 的函数，所以其期望值为 0。因此，y(t) 的自相关函数为：

R_y(t1, t2) = R_x(t1, t2) * δ(t1 - t2)

其中，δ(t1 - t2) 是 Dirac δ 函数。

3. 功率谱： 根据 Wiener-Khinchin 定理， y(t) 的功率谱 S_y(w) 可以通过自相关函数 R_y(t1, t2) 进行傅里叶变换得到：

S_y(w) = Fourier{R_y(t1, t2)}

由于 R_y(t1, t2) = R_x(t1, t2) * δ(t1 - t2)，可以得到：

S_y(w) = Fourier{R_x(t1, t2) * δ(t1 - t2)} = Fourier{R_x(t, t) * δ(t - t)}

利用傅里叶变换的性质，得到：

S_y(w) = R_x(t, t) * Fourier{δ(t - t)} = R_x(t, t)

因此，y(t) 的功率谱与 x(t) 的自相关函数 R_x(t, t) 相等。

综上所述，y(t) 的均值为 0，自相关函数为 R_y(t1, t2) = R_x(t1, t2) * δ(t1 - t2)，功率谱为 S_y(w) = R_x(t, t)。