用公式推导回答为什么样本回归系数的标准误与残差均方的算术平方根成正比

样本回归系数的标准误可以表示为：

$$SE(\hat{\beta}) = \frac{s}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}}$$

其中，$s$ 是残差的标准误，$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$ 是样本 $x$ 的方差。

另外，残差的标准误 $s$ 可以表示为：

$$ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\hat{u_i}^2}{n-2}} $$

其中，$\hat{u_i}$ 是第 $i$ 个观测值的残差。

将上式代入第一式，得到：

$$SE(\hat{\beta}) = \frac{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\hat{u_i}^2}{n-2}}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}}$$

化简可得：

$$SE(\hat{\beta}) = \frac{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\hat{u_i}^2}{n-2}}}{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}} \times \sqrt{\frac{n-1}{n-2}}$$

因为 $\frac{\sum_{i=1}^{n}\hat{u_i}^2}{n-2}$ 是残差的均方，即 $s^2$，$\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$ 是样本 $x$ 的方差 $s_x^2$，所以：

$$SE(\hat{\beta}) = \frac{s}{s_x} \times \sqrt{\frac{n-1}{n-2}}$$

因此，样本回归系数的标准误与残差均方的算术平方根成正比，即：

$$SE(\hat{\beta}) \propto \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\hat{u_i}^2}{n-2}} \propto s$$