请证明四点共圆

要证明四点共圆，需要证明它们在同一个圆周上。可以通过以下两种方法证明：

方法一：利用向量叉积的性质

设四个点分别为A、B、C、D，它们的坐标分别为$(x_A,y_A)$，$(x_B,y_B)$，$(x_C,y_C)$，$(x_D,y_D)$。

首先构造向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$，然后计算它们的叉积：

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \times (x_C - x_A, y_C - y_A) = (x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)$

同理，构造向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AD}$，然后计算它们的叉积：

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \times (x_D - x_A, y_D - y_A) = (x_B - x_A)(y_D - y_A) - (y_B - y_A)(x_D - x_A)$

如果四个点共圆，则必须满足$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}$，即：

$(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A) = (x_B - x_A)(y_D - y_A) - (y_B - y_A)(x_D - x_A)$

化简得：

$x_A y_B + x_B y_C + x_C y_D + x_D y_A - x_B y_A - x_C y_B - x_D y_C - x_A y_D = 0$

这个式子的左边是四个点的坐标按照一定顺序相乘求和的结果，如果这四个点共圆，则这个式子必须成立。因此，只需要验证这个式子是否成立即可证明四个点是否共圆。

方法二：利用欧拉定理

欧拉定理指出：对于任何三角形ABC，它的外心、重心、垂心和费马点四个点共线。

因此，如果四个点A、B、C、D共圆，则它们的外心必须存在。可以通过以下步骤构造外心：

连接AB、AC两条线段，求出它们的垂线交点O1，即为三角形ABC的垂心。
连接BC、BA两条线段，求出它们的垂线交点O2，即为三角形ABC的垂心。
连接CO1和BO2两条线段，求出它们的交点O，即为三角形ABC的外心。
验证四个点是否在同一个圆周上，即验证AO=BO=CO=DO。

这种方法可以通过计算圆心到每个点的距离来验证是否共圆。如果四个点共圆，则它们到圆心的距离应该相等。