电场边界条件推导：由高斯定理导出 D2N - D1N = ps

根据高斯定理，对于一个闭合曲面 S，电场的通量等于该闭合曲面内的电荷量的 1/ε0 倍。其中，ε0 为真空中的电介质常数。

在一个分界面的两侧，可以选择两个闭合曲面 S1 和 S2，如下图所示：

     |   S1    |
-----------------   分界面
     |   S2    |

S1 和 S2 以分界面为共面的两个闭合曲面。根据高斯定理，电场的通量可以写为：

∫∫S1 E·dA + ∫∫S2 E·dA = (1/ε0) ∫∫∫ V ρ dV

其中，E 为电场强度矢量，dA 为曲面元素矢量，V 为闭合曲面所围成的体积，ρ 为该体积内的电荷密度。

根据边界条件，我们可以得到以下关系：

∫∫S1 E·dA = D1·n1

∫∫S2 E·dA = D2·n2

其中，D1 和 D2 分别为分界面两侧的电位移矢量，n1 和 n2 为分界面上的法向量。

将上述关系代入高斯定理中，可以得到：

D1·n1 + D2·n2 = (1/ε0) ∫∫∫ V ρ dV

根据电荷守恒定律，我们知道闭合曲面内的电荷量等于分界面上的电荷量，即：

∫∫∫ V ρ dV = ∫∫S ps dA

其中，ps 为分界面上的自由电荷面密度。

将上述关系代入边界条件中，可以得到：

D1·n1 + D2·n2 = (1/ε0) ∫∫S ps dA

即：

D2·n2 - D1·n1 = (1/ε0) ∫∫S ps dA

即：

D2·n - D1·n = ps

其中，n 为分界面上的法向量。