随机变量幅值期望与期望幅值关系解析 - 深入理解数学期望

假设X是一个随机变量，其幅值为|X|，期望为E(X)。我们可以使用绝对值的定义来推导出幅值的期望与期望的幅值之间的关系。\n\n根据绝对值的定义，|X| = X，当X>=0时，|X| = -X，当X<0时。因此，我们可以将X分解为两个部分：X = X1 - X2，其中X1 = X，当X>=0时，X1 = 0，当X<0时；X2 = 0，当X>=0时，X2 = -X，当X<0时。\n\n根据期望的线性性质，我们有E(X) = E(X1) - E(X2)。\n\n当X>=0时，E(X1) = E(X)，因为X1 = X；\n当X<0时，E(X1) = 0，因为X1 = 0；\n当X>=0时，E(X2) = 0，因为X2 = 0；\n当X<0时，E(X2) = E(-X)，因为X2 = -X。\n\n综上所述，我们可以得出以下结论：\nE(|X|) = E(X1) + E(X2) = E(X) + E(-X)。\n\n由于期望是一个实数，E(-X) = -E(X)。因此，我们可以得到以下结论：\nE(|X|) = E(X) - E(X) = 0。\n\n换句话说，随机变量的幅值的期望为0，与期望的幅值之间存在一个关系。