三角形中动点问题求最小值 - 几何画板作图步骤详解

作图步骤如下：

1. 画出三角形ABC，角C为直角，BC=3，AC=4。

2. 在AC上取一点D作为动点。

3. 过点A作AE的延长线，与BE交于点F。

4. 连接BD和DF。

5. 作射线DE' // AB，交BD于点E'，再连接AE'和CE'。

6. 观察发现DE'是BD/DE的最小值，因此我们只需求出DE'的长度。

7. 根据相似三角形AE'D和ABC，可得：AE'/AB = AD/AC，即 AE'/(AE'+BE) = AD/AC。

8. 代入已知数据，得：AE'/(AE'+3) = AD/4。

9. 再根据相似三角形BDF和ABC，可得：BD/BC = DF/AC，即 BD/3 = DF/4。

10. 代入已知数据，得：BD/3 = (BE+EF)/4。

11. 将步骤9和10中的DF和EF用AE'表示，得：BD/3 = (BE+AE'/(AE'+BE))/4。

12. 整理得到：AE'/(AE'+BE) = 4BD/3。

13. 代入步骤7中的公式，得到：AE'/(AE'+3) = 4BD/9。

14. 解得：AE' = (12BD)/(4BD-9)。

15. 根据相似三角形DE'E和ABC，可得：DE'/AC = DE'/AE' = EE'/AB，即 DE'/(4BD/4BD-9) = EE'/3。

16. 代入已知数据，得：DE' = (12BD)/(4BD-9) × 3/(4BD)。

17. 化简得：DE' = 36/(16BD-27)。

18. 因为DE'是BD/DE的最小值，所以要使BD/DE最小，只需使DE'最大。

19. 求导可得DE'在BD=27/16时取得最大值。

20. 代入得到：DE'的最大值为6。

21. 因此BD/DE的最小值为27/16 ÷ 6 = 9/8。

作图如下：