三角形中线段比值的最小值求解及几何画板作图步骤

在三角形ABC中，角C=90°，BC=3，AC=4,点D是AC上一动点，过点A作AE上BE交BD的延长线于点E,则BD/DE的最小值为多少？请用几何画板求解，并写出作图步骤

作图步骤如下：

1. 画出三角形ABC，角C为直角，BC=3，AC=4。
2. 在AC上任取一点D作为动点。
3. 过点A作AE的垂线AF，交BC于点F。
4. 连接BF和DE。
5. 作BD的垂线DG，交AE于点G。

如下图所示：

证明DG与BC平行

因为∠AFB=90°，所以BF^2=AF·FE，即BF^2=AF·(AE-AF)。而根据相似三角形的性质，有：

$\frac{BF}{FE}=\frac{BC}{AC}$

即$\frac{BF}{AE-BF}=\frac{3}{4}$

解得BF=12/5。

又因为∠BFG=∠BDC=90°，所以BFGD为矩形，所以DG=BF=12/5，且DG∥BC。

求解BD/DE的最小值

因此，要求BD/DE的最小值，就是要求BD的最小值，即点D到直线BC的最短距离。

因为DG∥BC，所以点D到直线BC的距离就是点G到直线BC的距离，即DG=12/5。又因为BD/DE=BG/GE，而BG=BD+DG，所以BD/DE=BD/(BD+DG)。由此可得：

$\frac{BD}{DE}=\frac{BD}{BD+\frac{12}{5}}=\frac{5BD}{5BD+12}$

要求BD/DE的最小值，就是要求5BD/(5BD+12)的最小值。对5BD/(5BD+12)求导，得到：

$\frac{d}{dB}\frac{5BD}{5BD+12}=\frac{60}{(5BD+12)^2}$

令导数等于0，得到5BD=2.4，即BD=0.48。

因此，BD/DE的最小值为：

$\frac{BD}{DE}=\frac{0.48}{4-0.48}=\frac{12}{23}$

所以BD/DE的最小值为12/23。