青铜时代商业策略：生产点选择与收益最大化

假定你是一个青铜时代的具有青铜冶炼技术的人，想生产并售卖青铜器（为简单起见，所有青铜产品不区分产品类型，单位统一为件）赚钱。你想不断选择部落作为青铜器生产点，每个生产点的初始投资费用为 2000 钱币，建设时间需要 1 个季度，从下一个季度开始每季度每个生产点最多能制造出 100 件青铜器，每件青铜器的制造成本为 5 钱币。

你可以对青铜器统一定价 P，一旦定了就不可改变，且每个部落每季度的最大需求量 Q 为：

Q = CN/P

其中，N 为人口数 (千)，P 为定价，C 为常数。

只要部落与部落之间有路，每段路每件青铜器配送成本为 1 钱币。当路的两边为不同国家时，这段路每件青铜器的配送成本增加 1 钱币。初始你有现金 6000 钱币。

考虑下列问题：

讨论 C 在不同的取值范围中，初始时刻应如何投资选择生产点地址，使得运输成本最低。列出相关计算与matlab模型内容：

当 C>1 时，需求量与价格成反比，即价格越高，需求量越少。因此，我们应该选择尽可能少的生产点，使得总产量能够满足需求，从而减少投资和运输成本。

假设共有 n 个部落，每个部落的人口数为 N_i，最大需求量为 Q_i，生产点的投资费用为 2000 钱币。我们需要选择一些部落设为生产点，使得它们的产量之和大于等于总需求量，同时总投资费用最小。

设 x_i 表示是否选择第 i 个部落作为生产点，y_ij 表示从第 i 个部落到第 j 个部落的青铜器配送数量。则问题可以建模为如下的线性规划问题：

minimize: 2000sum(x_i) + sum(y_ij) subject to: sum(x_i) >= Q_total/P x_i, y_ij >= 0 y_ij <= 100x_i y_ij <= Q_i y_ij <= Q_j y_ij <= 2*(1-d_ij)100x_i where Q_total = sum(N_i*C)

其中，d_ij 表示第 i 个部落和第 j 个部落是否在同一国家，若在同一国家则 d_ij=0，否则 d_ij=1。

可以使用 MATLAB 的线性规划工具箱求解该问题。

当 C=1 时，需求量与价格无关。因此，我们应该选择尽可能多的生产点，从而增加产量，满足更多的需求。

同样地，设 x_i 和 y_ij 表示选择第 i 个部落作为生产点和从第 i 个部落到第 j 个部落的配送数量。问题可以建模为如下的线性规划问题：

minimize: 2000sum(x_i) + sum(y_ij) subject to: sum(x_i) >= Q_total/P x_i, y_ij >= 0 y_ij <= 100x_i y_ij <= Q_i y_ij <= Q_j y_ij <= 2*(1-d_ij)100x_i sum(x_i) <= n/2

其中，Q_total 和 d_ij 的定义与前面相同，最后一个约束条件表示选择的生产点的数量不应超过部落总数的一半。

同样可以使用 MATLAB 的线性规划工具箱求解该问题。