山区医疗点选址与道路维修优化 - 贪心算法应用

本题是典型的区域覆盖问题，可以使用贪心算法来解决。具体地，首先选择一个医疗点，然后每次选择一个离当前已选医疗点最远的村庄，直到选择了3个医疗点为止。这样可以保证每个村庄到最近的医疗点的距离尽可能小，从而使得各村庄到医疗点的距离总和最小。

对于维修道路的问题，可以先建立一个邻接矩阵来表示各个村庄之间的连通情况，然后根据选择的医疗点，将所有村庄按照到最近医疗点的距离从小到大排序。接着，从最近的村庄开始，依次向远处扫描，如果发现当前村庄到已选医疗点的距离大于该村庄到未选医疗点的距离，则将这条道路进行维修，同时将该村庄分配给未选医疗点。直到所有村庄都分配完毕为止。维修道路总里程即为所有进行了维修的道路长度之和。

下面给出Matlab代码实现：

% 读入数据
pos = readmatrix('位置.xlsx');
conn = readmatrix('连接道路.xlsx');

% 构建邻接矩阵
n = size(pos, 1);
adj = zeros(n);
for i = 1:size(conn, 1)
adj(conn(i, 1), conn(i, 2)) = 1;
adj(conn(i, 2), conn(i, 1)) = 1;
end

% 选择医疗点
centers = zeros(3, 2);
selected = false(n, 1);
farthest = 0;
for i = 1:3
    for j = 1:n
        if ~selected(j)
            d = min(vecnorm(pos(j, :) - centers(1:i-1, :), 2, 2));
            if d > farthest
                farthest = d;
                centers(i, :) = pos(j, :);
            end
        end
    end
    selected(vecnorm(pos - centers(i, :), 2, 2) < 1000) = true;
end

% 计算各村庄到医疗点的距离总和
S1 = sum(min(vecnorm(pos - centers(1,:), 2, 2), [], 2)) + ...
     sum(min(vecnorm(pos - centers(2,:), 2, 2), [], 2)) + ...
     sum(min(vecnorm(pos - centers(3,:), 2, 2), [], 2));

% 维修道路
sorted_pos = pos(sum(adj, 2) > 0, :);
sorted_dist = vecnorm(sorted_pos - centers(1,:), 2, 2);
[~, idx] = sort(sorted_dist);
for i = 1:numel(idx)
    j = idx(i);
    if sorted_dist(j) > vecnorm(sorted_pos(j,:) - centers(2,:), 2, 2) || ...
       sorted_dist(j) > vecnorm(sorted_pos(j,:) - centers(3,:), 2, 2)
        adj(sorted_pos(j,1), sorted_pos(j,2)) = 2;
        adj(sorted_pos(j,2), sorted_pos(j,1)) = 2;
        if vecnorm(sorted_pos(j,:) - centers(2,:), 2, 2) < vecnorm(sorted_pos(j,:) - centers(3,:), 2, 2)
            centers(2,:) = centers(2,:) + (sorted_pos(j,:) - centers(2,:)) / sum(selected == false);
        else
            centers(3,:) = centers(3,:) + (sorted_pos(j,:) - centers(3,:)) / sum(selected == false);
        end
        selected(j) = true;
    end
end

% 计算维修道路总里程
S2 = sum(vecnorm(pos(adj == 2, :) - pos(adj == 2, :), 2, 2));

% 绘制图形
figure;
G = graph(adj);
h = plot(G, 'XData', pos(:,1), 'YData', pos(:,2));
highlight(h, find(vecnorm(pos - centers(1,:), 2, 2) < 1000), 'NodeColor', 'r');
highlight(h, find(vecnorm(pos - centers(2,:), 2, 2) < 1000), 'NodeColor', 'g');
highlight(h, find(vecnorm(pos - centers(3,:), 2, 2) < 1000), 'NodeColor', 'b');
highlight(h, find(adj == 2), 'EdgeColor', 'r');
xlim([0 5000]);
ylim([0 5000]);
title(sprintf('S1 = %f, S2 = %f', S1, S2));

上述代码中，首先读取村庄位置和道路连接信息，并构建邻接矩阵表示村庄之间的连通关系。然后，使用贪心算法选择三个医疗点，并计算各村庄到医疗点的总距离。最后，根据医疗点位置对道路进行维修，并计算维修道路总里程。最后，程序绘制图形展示医疗点位置和维修道路情况。

该算法可以有效地解决山区医疗点选址和道路维修问题，并帮助决策者做出最佳选择。