线性代数方法求排列逆序数 - 以 41253 为例

首先，我们需要了解什么是逆序数。在一个排列中，如果一个数对 '(i,j)' 满足 'i<j' 且 'a_i>a_j'，那么这个数对就是一个逆序数。排列中所有逆序数的个数称为该排列的逆序数。例如，排列 '41253' 中的逆序数有 '(4,1)'、'(4,2)'、'(5,1)'、'(5,2)' 和 '(5,3)'，因此该排列的逆序数为 '5'。

现在，我们可以使用线性代数的方法来计算排列的逆序数。定义一个 'n×n' 的下三角矩阵 'L'，其中 'L_{i,j}=1' 当且仅当 'i>j' 且 'a_i>a_j'，否则 'L_{i,j}=0'。例如，对于排列 '41253'，我们有：

$$L=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\1 & 0 & 0 & 0 & 0\1 & 1 & 0 & 0 & 0\0 & 0 & 1 & 0 & 0\1 & 1 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$$

则该排列的逆序数等于 'L' 的行列式的相反数，即 'det(L)'。因此，我们只需要计算矩阵 'L' 的行列式即可。我们可以使用高斯消元法将 'L' 化为行最简形，然后计算对角线上的元素的乘积即可。具体地，我们可以使用以下步骤：

1. 对于第 'i' 行，如果 'L_{i,i}=0'，则从第 'i+1' 行到第 'n' 行中找到第一个 'L_{j,i}=1' 的行 'j'，然后交换第 'i' 行和第 'j' 行。如果找不到这样的行，则跳过该行。

2. 对于第 'i' 行，如果 'L_{i,i}=1'，则从第 'i+1' 行到第 'n' 行中，将所有 'L_{j,i}=1' 的行 'j' 加到第 'i' 行上，使得第 'i' 行下面的所有元素都变成 '0'。

3. 重复步骤 1 和步骤 2 直到将矩阵 'L' 化为行最简形。

4. 计算对角线上的元素的乘积，然后取相反数，即为该排列的逆序数。

对于排列 '41253'，我们可以使用上述步骤来计算其逆序数：

$$\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\1 & 0 & 0 & 0 & 0\1 & 1 & 0 & 0 & 0\0 & 0 & 1 & 0 & 0\1 & 1 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 0\1 & 0 & 0 & 0 & 0\0 & 1 & 0 & 0 & 0\0 & 0 & 1 & 0 & 0\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 0\0 & 1 & 0 & 0 & 0\0 & 0 & 1 & 0 & 0\0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$

因此，该排列的逆序数为 '-det(L)=-(1×1×1×1)=\boxed{-1}'。