证明：f'(x) 的四阶差商公式

首先，我们对 $f(x)$ 在 $x$ 处做泰勒展开式：

$$f(x-h) = f(x) - hf'(x) + \frac{h^2}{2}f''(x) - \frac{h^3}{6}f'''(x) + \frac{h^4}{24}f''''(\xi_1)$$

$$f(x-2h) = f(x) - 2hf'(x) + 2h^2 f''(x) - \frac{4}{3}h^3 f'''(x) + \frac{2}{3}h^4 f''''(\xi_2)$$

$$f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2}f''(x) + \frac{h^3}{6}f'''(x) + \frac{h^4}{24}f''''(\xi_3)$$

$$f(x+2h) = f(x) + 2hf'(x) + 2h^2 f''(x) + \frac{4}{3}h^3 f'''(x) + \frac{2}{3}h^4 f''''(\xi_4)$$

其中，$\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4$ 分别在 $[x-h,x]$，$[x-2h,x-h]$，$[x,x+h]$，$[x+h,x+2h]$ 上。

将上述四个式子相加，得到：

$$f(x-h)+f(x-2h)+f(x+h)+f(x+2h) = 4f(x) - 6hf'(x) + 2h^2 f''(x) + \frac{4}{3}h^4 f''''(\xi)$$

其中，$\xi$ 在 $[x-2h,x+2h]$ 上。

移项得到：

$$f'(x) = \frac{f(x-2h)-8f(x-h)+8f(x+h)-f(x+2h)}{12h} + \frac{h^2}{6}f''(x) + \frac{h^4}{90}f''''(\xi)$$

这里的 $o(h^4)$ 就等于 $\frac{h^2}{6}f''(x) + \frac{h^4}{90}f''''(\xi)$。因此，

$$f'(x) = \frac{f(x-2h)-8f(x-h)+8f(x+h)-f(x+2h)}{12h} + o(h^4)$$

证毕。