将电场表达式 E=E_{ym}cos(ωt-kx+φ)a⃗y+E_{xm}sin(ωt-kx+φ)a⃗x 改写成复数形式

将 $E_{ym}cos(ωt-kx+φ)$ 和 $E_{xm}sin(ωt-kx+φ)$ 分别表示为复数形式：

$E_{ym}cos(ωt-kx+φ)=\frac{E_{ym}}{2}(e^{i(ωt-kx+φ)}+e^{-i(ωt-kx+φ)})$

$E_{xm}sin(ωt-kx+φ)=\frac{E_{xm}}{2i}(e^{i(ωt-kx+φ)}-e^{-i(ωt-kx+φ)})$

将两个复数相加：

$E=E_{ym}cos(ωt-kx+φ)hat{y}+E_{xm}sin(ωt-kx+φ)hat{x}$

$= \frac{E_{ym}}{2}(e^{i(ωt-kx+φ)}+e^{-i(ωt-kx+φ)})hat{y} + \frac{E_{xm}}{2i}(e^{i(ωt-kx+φ)}-e^{-i(ωt-kx+φ)})hat{x}$

$= \frac{E_{ym}}{2}(e^{iφ}hat{y}+e^{-iφ}hat{y})e^{i(ωt-kx)} + \frac{E_{xm}}{2i}(e^{iφ}hat{x}-e^{-iφ}hat{x})e^{i(ωt-kx)}$

$= \frac{E_{ym}}{2}(2isinφhat{y})e^{i(ωt-kx)} + \frac{E_{xm}}{2i}(2icosφhat{x})e^{i(ωt-kx)}$

$= iE_{ym}sinφhat{y}e^{i(ωt-kx)} + iE_{xm}cosφhat{x}e^{i(ωt-kx)}$

将 $e^{i(ωt-kx)}$ 提出来：

$E=e^{i(ωt-kx)}(iE_{ym}sinφhat{y}+iE_{xm}cosφhat{x})$

令 $α = φ + \frac{π}{2}$，则可以进一步写成：

$E=e^{i(ωt-kx)}(E_{ym}e^{iα}hat{y}+E_{xm}e^{-iα}hat{x})$