MATLAB SOR 迭代法最佳收敛因子求解

SOR 迭代法的最佳收敛因子可以通过试验法求解。具体步骤如下：

定义一个矩阵 A 和向量 b，初始化初始解向量 x0 和迭代次数 k。
定义一个循环，从 1 到一定的迭代次数。
在循环中，计算 SOR 迭代法的解向量 xk+1，其中迭代公式为：

xk+1 = (1-ω)xk + ωD⁻¹(b-Lxk+1-Uxk)

其中，D 是 A 的对角线元素组成的矩阵，L 和 U 分别是 A 的下三角和上三角矩阵，ω 为收敛因子。

计算每一次迭代后的误差，如果误差小于一定的容限，退出循环。
计算每一次迭代后的解向量和误差，记录下来。
计算不同收敛因子下，误差的变化情况，选择误差变化最小的收敛因子作为最佳收敛因子。

具体的 MATLAB 代码如下所示：

A = [4 -1 0; -1 4 -1; 0 -1 4]; % 定义矩阵 A
b = [15; 10; 10]; % 定义向量 b
x0 = [0; 0; 0]; % 初始解向量
k = 1000; % 迭代次数
tol = 1e-6; % 容限

omega = 0.1:0.1:1.9; % 收敛因子
for i = 1:length(omega)
    x = x0; % 初始化解向量
    for j = 1:k
        D = diag(diag(A)); % 对角线矩阵
        L = tril(A, -1); % 下三角矩阵
        U = triu(A, 1); % 上三角矩阵
        x_new = (1-omega(i)) * x + omega(i) * inv(D+omega(i)*L) * (b-U*x-L*x_new); % SOR 迭代公式
        err = norm(x_new - x); % 计算误差
        if err < tol % 判断误差是否小于容限
            break;
        end
        x = x_new; % 更新解向量
    end
    x_record(:,i) = x_new; % 记录解向量
    err_record(i) = err; % 记录误差
end

[~, idx] = min(err_record); % 找到误差变化最小的收敛因子
omega_best = omega(idx); % 最佳收敛因子