三角形面积最小值问题：已知向量关系和三角函数关系求面积

首先，根据已知条件可得：/n/n$$/frac{AC}{BC}=/frac{3}{1}$$/n/n$$/frac{AD}{DC}=/frac{2}{1}$$/n/n因此，可以考虑以$BC$为基准线，建立平面直角坐标系，令$B$点坐标为$(0,0)$，$C$点坐标为$(1,0)$，$A$点坐标为$(x,y)$。/n/n由于$/frac{AC}{BC}=/frac{3}{1}$，因此$A$点坐标满足$y=3x$。/n/n又因为$/frac{AD}{DC}=/frac{2}{1}$，因此$D$点坐标为$(/frac{2}{3},0)$。/n/n由于$/sin/angle BDC=3/sin/angle BAC$，因此有：/n/n$$/frac{BD}{DC}=/frac{/sin/angle BDC}{/sin/angle BAC}=3$$/n/n根据正弦定理可得：/n/n$$/frac{BD}{/sin/angle BAC}=/frac{BC}{/sin/angle BDC}$$/n/n代入$/frac{BD}{DC}=3$，得到：/n/n$$/frac{/sin/angle BAC}{/sin/angle BDC}=/frac{1}{3}$$/n/n又因为$/angle BDC$为锐角，所以$/sin/angle BAC>/sin/angle BDC$，因此有：/n/n$$/sin/angle BAC=/frac{1}{2}$$/n/n代入$y=3x$可得$AC=/sqrt{10}BC$，因此有：/n/n$$x^2+y^2=10$$/n/n又因为$D$点坐标为$(/frac{2}{3},0)$，因此$/overrightarrow{DC}=/begin{pmatrix}1-/frac{2}{3}//0-0/end{pmatrix}=/begin{pmatrix}/frac{1}{3}//0/end{pmatrix}$，$/overrightarrow{AD}=2/overrightarrow{DC}=/begin{pmatrix}/frac{4}{3}//0/end{pmatrix}$，因此有：/n/n$$/overrightarrow{AB}=/overrightarrow{AD}+/overrightarrow{DC}=/begin{pmatrix}/frac{7}{3}///frac{9}{3}/end{pmatrix}=/begin{pmatrix}/frac{7}{3}//3/end{pmatrix}$$/n/n因此，/n/n$$|/overrightarrow{AB}|=/sqrt{/left(/frac{7}{3}/right)^2+3^2}=/frac{/sqrt{58}}{3}$$/n/n$$/overrightarrow{CA}/cdot/overrightarrow{CB}=/begin{pmatrix}x-1//y/end{pmatrix}/cdot/begin{pmatrix}x//y/end{pmatrix}=x^2-xy=/frac{10}{3}-|/overrightarrow{AB}|$$/n/n因此，/n/n$$/overrightarrow{CA}/cdot/overrightarrow{CB}-|/overrightarrow{AB}|=-xy=/frac{5}{2}$$/n/n根据海龙公式可得：/n/n$$S_{/triangle ABC}=/sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=/sqrt{/frac{5/sqrt{58}}{18}}$$/n/n其中，$s$为半周长，$a=BC$，$b=AC$，$c=AB$。/n/n因此，$/sqrt{58}$的最小值为$/sqrt{/frac{5}{2}}$，$/sqrt{/frac{5/sqrt{58}}{18}}$的最小值为$/frac{/sqrt{145}}{6}$。/n/n因此，当$/overrightarrow{CA}/cdot/overrightarrow{CB}-|/overrightarrow{AB}|$取得最小值$/frac{5}{2}$时，$/triangle ABC$的面积为$/frac{/sqrt{145}}{6}$。