平衡球动力学建模与降重分析

本文推导了平衡球的动力学模型，并针对实际应用场景进行了降重处理。

1. 平衡球动力学模型

首先建立平衡球的动力学描述，由于球体质量极小，这里忽略平衡球的转动惯量，平衡球的位置矢量可以表示为

\mathbf{r} = \mathbf{x} + R\mathbf{e}_r + r_i\mathbf{e}_θ
		(4-1)

式中，R为滚道所处半径，θ为转子转角；θ_i为第i个球相对转子的转角，其为相应滚道的相位角，x为动系相对于大地参考系的位移向量，z_i为球体在动系ξ中的Z坐标用来描述球体轴向位置。A为动系ξ相对地面参考坐标系O的姿态矩阵（这里通过外旋ZYX的旋转顺序定义）：

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} cosθcosψ & -sinθcosψ & sinψ \
cosθsinψ & sinθcosψ & -cosψ \
-sinθ & cosθ & 0 
\end{bmatrix}

则球体的速度矢量可描述为：

\dot{\mathbf{r}} = \dot{\mathbf{x}} + R\dot{\theta}\mathbf{e}_θ + \dot{r}_i\mathbf{e}_θ + r_i\dot{\theta}_i\mathbf{e}_r
		(4-2)

式中，\dot{\mathbf{x}}为动系ξ相对于大地参考系的速度向量，\dot{\theta}为转子角速度，\dot{r}_i为球体相对于滚道的速度，\dot{\theta}_i为球体相对于转子的角速度。B为ξ与刚体旋转角速度矢量ω间的转换矩阵：

\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 & -sinθ & cosθcosψ \
0 & cosθ & cosθsinψ \
1 & 0 & -sinψ 
\end{bmatrix}
		(4-3)

令v_i = \dot{r}_i，ω_i = \dot{\theta}_i，则平衡球的动能可以描述为：

\begin{aligned}
T &= \frac{1}{2}m(\dot{\mathbf{x}} + R\dot{\theta}\mathbf{e}_θ + v_i\mathbf{e}_θ + r_iω_i\mathbf{e}_r)^T(\dot{\mathbf{x}} + R\dot{\theta}\mathbf{e}_θ + v_i\mathbf{e}_θ + r_iω_i\mathbf{e}_r) \
&= \frac{1}{2}m(\dot{\mathbf{x}}^T\dot{\mathbf{x}} + 2R\dot{\mathbf{x}}^T\dot{\theta}\mathbf{e}_θ + 2\dot{\mathbf{x}}^Tv_i\mathbf{e}_θ + 2\dot{\mathbf{x}}^Tr_iω_i\mathbf{e}_r + R^2\dot{\theta}^2 + 2R\dot{\theta}v_i + 2R\dot{\theta}r_iω_i + v_i^2 + 2v_ir_iω_i + r_i^2ω_i^2) \
&= \frac{1}{2}m(\dot{\mathbf{x}}^T\dot{\mathbf{x}} + R^2\dot{\theta}^2 + v_i^2 + r_i^2ω_i^2 + 2R\dot{\theta}v_i + 2R\dot{\theta}r_iω_i + 2v_ir_iω_i) \
		(4-4)
\end{aligned}

其中

\mathbf{M} = \begin{bmatrix} m & 0 & 0 & 0 \
0 & mR^2 & 0 & 0 \
0 & 0 & m & 0 \
0 & 0 & 0 & mr_i^2 
\end{bmatrix}
		(4-5)

考虑到转子在运行过程中\dot{\theta} = const，且\dot{r}_i，\dot{\theta}_i的角度较小，为简便计算可以得到

\dot{\mathbf{x}}^T\dot{\theta}\mathbf{e}_θ ≈ 0
		\dot{\mathbf{x}}^Tv_i\mathbf{e}_θ ≈ 0
		\dot{\mathbf{x}}^Tr_iω_i\mathbf{e}_r ≈ 0

将式(4-4)带入到拉格朗日方程中可以得到平衡球的动力学描述为：

\begin{aligned}
\frac{d}{dt}(\frac{∂T}{∂\dot{\mathbf{q}}}) - \frac{∂T}{∂\mathbf{q}} + \frac{∂V}{∂\mathbf{q}} &= \mathbf{Q} \
\Rightarrow
\mathbf{M}\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{K}\mathbf{q} &= \mathbf{Q} \
		(4-6)
\end{aligned}

此外，由于转子的角速度\dot{\theta}受到运动控制约束并且转子的Z自由度受两端支承限制始终为0，因此，将关于Z，\dot{\theta}与\ddot{\theta}的描述方程去除，考虑到转子振幅较小，可将式(4-6)所述模型采用线性模型来近似，设

\mathbf{q} = \begin{bmatrix} x \
y \
z_i \
θ_i 
\end{bmatrix}
		\mathbf{M} = \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} & m_{14} \
m_{21} & m_{22} & m_{23} & m_{24} \
m_{31} & m_{32} & m_{33} & m_{34} \
m_{41} & m_{42} & m_{43} & m_{44} 
\end{bmatrix}
		(4-7)

其中m_{ij}为式(4-5)中质量阵M的第i行，第j列元素，此时式(4-6)可简化为以下线性模型：

\mathbf{M}\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{K}\mathbf{q} = \mathbf{Q}
		(4-8)

上式中，

\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 
\end{bmatrix}
		(4-9)
\mathbf{K} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & mr_i^2ω_i^2 
\end{bmatrix}
		(4-10)

忽略\dot{\mathbf{q}}的相关高次项后，令\mathbf{Q} = 0，最终可得：

\mathbf{M}\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{K}\mathbf{q} = 0

2. 平衡球动力学模型降重

为了简化计算，可以考虑将平衡球的动力学模型进行降重处理。将平衡球的质量分布均匀看做一个质点，其质量为球体质量乘以球体所在位置处的重力加速度与地面重力加速度之比，即

\bar{m} = m\frac{g_i}{g}
		(4-11)

其中，m为球体质量，g_i为球体所在位置处的重力加速度，g为地面重力加速度。将式(4-11)代入式(4-8)中，可得到降重后的线性模型：

\bar{\mathbf{M}}\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{K}\mathbf{q} = \mathbf{Q}
		(4-12)

上式中，

\bar{\mathbf{M}} = \begin{bmatrix} \bar{m} & 0 & 0 & 0 \
0 & \bar{m} & 0 & 0 \
0 & 0 & \bar{m} & 0 \
0 & 0 & 0 & \bar{m} 
\end{bmatrix}
		(4-13)
\mathbf{K} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & \bar{m}r_i^2ω_i^2 
\end{bmatrix}
		(4-14)

忽略\dot{\mathbf{q}}的相关高次项后，令\mathbf{Q} = 0，最终可得：

\bar{\mathbf{M}}\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{K}\mathbf{q} = 0

3. 总结

本文详细推导了平衡球的动力学模型，并针对实际应用场景进行了降重处理，为平衡球的控制设计提供了理论基础。降重后的模型可以有效简化计算，提高控制算法的效率。