高等数学多重积分实例：计算圆形区域上的二重积分

一个例子是计算二重积分 '∫∫_D √(x² + y²) dxdy'，其中 'D' 是由圆形 'x² + y² ≤ a²' 和直线 'x = a' 围成的区域。

首先，我们可以将极坐标中的积分限定在区域 '0 ≤ r ≤ a' 和 '0 ≤ θ ≤ π/2' 内。因为圆形的对称性，我们可以只计算一个象限内的积分，并将结果乘以 '4'。

接下来，我们需要将积分的被积函数 '√(x² + y²)' 转化为极坐标下的形式。由于 'x = r cos θ'，'y = r sin θ'，我们有：

'√(x² + y²) = √(r² cos² θ + r² sin² θ) = r'

因此，原积分可以改写为：

'∫∫_D √(x² + y²) dxdy = 4 ∫_0^(a/2) ∫_0^(π/2) r² sin θ dθ dr = 4 ∫_0^(a/2) r² dr ∫_0^(π/2) sin θ dθ = 4 (a³/24) ⋅ 1 = a³/6'

因此，二重积分 '∫∫_D √(x² + y²) dxdy' 的结果为 'a³/6'。