某市区恶性交通事故发生次数的泊松分布置信区间估计

解答：

由于每个月发生的恶性交通事故次数服从泊松分布，因此该样本的样本均值 'X' 也服从泊松分布，其参数为 'λ'。根据中心极限定理，当样本容量 'n' 充分大时，'X' 的分布可近似看作正态分布 N('λ','λ/n')。

首先，计算样本均值 'X'：

$$ 'X' = (5 + 4 + 6 + 12 + 7 + 8 + 10 + 7 + 6 + 11 + 3 + 5) / 12 = 7.0 $$

然后，根据样本均值的正态分布，计算样本均值的标准误：

$$ S.E.('X') = sqrt('X'/'n') = sqrt(7.0 / 12) = 0.566 $$

由于要估计 'λ' 的置信区间，因此需要先确定置信水平。题目中要求的是 95% 置信区间，因此 'α'=0.05，置信水平为 1-'α'=0.95。

根据正态分布的性质，'X'-'λ' 的分布为 N(0,'λ/n')，因此有：

$$ ('X'-'λ')/S.E.('X') ~ N(0,1) $$

根据标准正态分布的性质，可以得到：

$$ P(-z_'α'/2 ≤ ('X'-'λ')/S.E.('X') ≤ z_'α'/2) = 1-'α' $$

其中，z_'α'/2 是标准正态分布的上 'α'/2 分位数，可以查表得到 z_'α'/2=1.96。

将 'X' 和 S.E.('X') 带入上式，得到：

$$ P(-1.96 ≤ ('X'-'λ')/0.566 ≤ 1.96) = 0.95 $$

移项，得到对 'λ' 的置信区间为：

$$ 'X'-1.96S.E.('X') ≤ 'λ' ≤ 'X'+1.96S.E.('X') $$

将 'X' 和 S.E.('X') 带入上式，可得到该市平均每个月发生恶性交通事故次数的 95% 置信区间为：

$$ 7.0 - 1.96 × 0.566 ≤ 'λ' ≤ 7.0 + 1.96 × 0.566 $$

即：

$$ 5.89 ≤ 'λ' ≤ 8.11 $$

因此，该市平均每个月发生恶性交通事故次数的 95% 置信区间为 [5.89, 8.11]。