三棱锥外接球体积计算：详细步骤及公式应用

首先，我们可以通过勾股定理求出三角形ABC的高，设为h，则有：/n/n$$h^2=3^2-/frac{(/sqrt{3})^2}{4}=8.25$$/n/n$$h=/sqrt{8.25}=/frac{3/sqrt{3}}{2}$$/n/n因为三棱锥的底面是等边三角形，所以我们可以求出底面的高：/n/n$$/frac{/sqrt{3}}{2}/times/frac{3}{2}=/frac{3/sqrt{3}}{4}$$/n/n接着，我们可以利用海龙公式求出三角形ABC的面积：/n/n$$S_{ABC}=/sqrt{s(s-AB)(s-AC)(s-BC)}$$/n/n其中，$s=/frac{1}{2}(AB+AC+BC)=/frac{1}{2}(3+/sqrt{3}+/sqrt{11})$。/n/n将$s$和各边长带入公式，得到：/n/n$$S_{ABC}=/sqrt{/frac{1}{2}(3+/sqrt{3}+/sqrt{11})(/frac{1}{2}(3+/sqrt{3}+/sqrt{11})-3)(/frac{1}{2}(3+/sqrt{3}+/sqrt{11})-/sqrt{11})(/frac{1}{2}(3+/sqrt{3}+/sqrt{11})-/sqrt{3})}$$ /n/n$$S_{ABC}=/frac{3/sqrt{3}}{4}/sqrt{33-3/sqrt{33}}$$/n/n接着，我们可以用以下公式求出外接球的半径：/n/n$$R=/frac{abc}{4V}$$/n/n其中，$a,b,c$分别为三角形ABC的边长，$V$为三棱锥的体积。/n/n将$a,b,c$和$S_{ABC}$带入公式，得到：/n/n$$V=/frac{1}{3}S_{ABC}/times h=/frac{1}{3}/times/frac{3/sqrt{3}}{4}/sqrt{33-3/sqrt{33}}/times/frac{3/sqrt{3}}{2}=/frac{27/sqrt{3}}{8}/sqrt{33-3/sqrt{33}}$$/n/n$$R=/frac{/sqrt{3}/times 3/times 3/times /sqrt{11}}{4/times/frac{27/sqrt{3}}{8}/sqrt{33-3/sqrt{33}}}=/frac{/sqrt{33+3/sqrt{33}}}{4}$$/n/n最后，我们可以用以下公式求出外接球的体积：/n/n$$V_{sphere}=/frac{4}{3}/pi R^3=/frac{4}{3}/pi (/frac{/sqrt{33+3/sqrt{33}}}{4})^3=/frac{13/pi}{3}+/frac{39/pi/sqrt{33}}{16}$$/n/n因此，外接球的体积为$/frac{13/pi}{3}+/frac{39/pi/sqrt{33}}{16}$。